לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/מבחן המנה לסדרות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

תהי סדרה חיובית. נסמן .

  • אם אז .
  • אם אז .
הוכחה
  • מקרה א':
בדומה למבחן המנה לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.
ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן המנה לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול , אז המבחן קובע כי הטור מתכנס,
וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל כי .


  • מקרה ב':
נבחר מספר המקיים . כיון ש־ קיים כך שלכל מתקיים או באופן שקול .
נציב את להיות וכו' באי־שוויון זה ונקבל:
באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי לכל .
היא סדרה הנדסית עם מנה ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן מאי־השוויון לעיל נובע כי .
לכן .