מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
- משפט
תהי סדרה חיובית. נסמן .
- אם אז .
- אם אז .
- הוכחה
- מקרה א':
- בדומה למבחן המנה לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.
- ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן המנה לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול , אז המבחן קובע כי הטור מתכנס,
- וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל כי .
- מקרה ב':
- נבחר מספר המקיים . כיון ש־ קיים כך שלכל מתקיים או באופן שקול .
- נציב את להיות וכו' באי־שוויון זה ונקבל:
- באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי לכל .
- היא סדרה הנדסית עם מנה ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן מאי־השוויון לעיל נובע כי .
- לכן .