הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/התכנסות סדרות הממוצעים

משפט

תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה המתכנסת לגבול סופי $L$ . אזי גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול $L$ :

1. סדרת הממוצעים החשבונית: $A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}$
2. סדרת הממוצעים ההנדסית: $G_{n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\times \cdots \times a_{n}}}={\sqrt[{n}]{\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}$ אם $a_{n}>0$ לכל $n$
3. סדרת הממוצעים ההרמונית: $H_{n}={\dfrac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}$ אלא אם כן $L=0$ והסדרה אינה שוות סימן

הוכחה

תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ (ניתן למצוא בסוף העמוד הוכחה ישירות באמצעות הגדרת הגבול) כדי להוכיח התכנסות של הסדרה $\left\{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}\right\}_{n=1}^{\infty }$ לגבול $L$ כאשר $a_{n}\to L$ .

ברור כי $\{n\}_{n=1}^{\infty }$ היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים: $$\lim _{n\to \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}a_{k}-\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{(n+1)-n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{1}}=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=L$$ אזי $A_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to L$ כדרוש.

$\blacksquare$

כעת נוכיח את הטענה השלישית.

אם $L\neq 0$ אז הטענה נכונה טריוויאלית על־פי מה שהרגע הוכחנו. אם $a_{n}\to L$ נקבל כי ${\frac {1}{a_{n}}}\to {\frac {1}{L}}$ ואז כיון ש־$H_{n}={\frac {n}{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}=\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}\right)^{-1}$ ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של ${\frac {1}{a_{n}}}$ נקבל מהטענה הראשונה כי $H_{n}\to \left({\frac {1}{L}}\right)^{-1}=L$ .

$\blacksquare$

המקרה הפרטי $L=0$ הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמא פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי $a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}$ . עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n\geq N$ אברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי $\left\{{\frac {1}{a_{n}}}\right\}$ מתכנסת ל־$\infty$ או ל־$-\infty$ . עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על־פי נימוק דומה למקרה בו $L\neq 0$ .

נותר לנו כעת רק להוכיח כי $G_{n}\to L$ אם $a_{n}>0$ לכל $n$ . זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי־שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות:

$$L\leftarrow H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\to L$$

לכן על־פי כלל הסנדוויץ', גם $G_{n}\to L$ ובזאת הושלמה ההוכחה.

$\blacksquare$

הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור $L=0$ אך כאן $a_{n}>0$ לכל $n$ , לכן הטענה נכונה במקרה זה כיון שהסדרה שוות סימן.

הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית

ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד.

יהי $\varepsilon >0$ . $a_{n}\to L$ , לכן לפי הגדרת הגבול, קיים $K\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n\geq K$ מתקיים $|a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ .

כעת נסתכל על תת־סדרת האברים עד $K$ , כלומר: $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{K-1},a_{K}$ . כיון ש־$K$ קבוע (ערכו נקבע עפ"י אפסילון), תת־סדרה זו היא סופית ולכן סכום אבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים: ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{K}a_{k}\ {\xrightarrow {n\to \infty }}\ 0$ . אזי, לפי הגדרת הגבול, קיים $N_{1}\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n\geq N_{1}$ מתקיים $\left|{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{K}a_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

כעת ניגש לטפל באברים שנמצאים אחרי $K$ , כלומר $a_{K+1},a_{K+2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}$ (נשים לב שזהו אינו מספר סופי של אברים). כל אחד מאברים אלו מקיים $|a_{k}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ לכל $K+1\leq k\leq n$ טבעי. נסמן $N_{2}=\left\lceil {\frac {4K}{\varepsilon }}|L|\right\rceil$ ונשים לב שהדבר גורר כי לכל $n\geq N_{2}$ מתקיים ${\frac {K}{n}}|L|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ . אזי,

$${\begin{matrix}\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}a_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}a_{k}-{\frac {nL}{n}}\right|={\dfrac {1}{n}}\left|\sum \limits _{k=K+1}^{n}(a_{k}-L)+(-KL)\right|\ {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left({\bigg |}\sum \limits _{k=K+1}^{n}(a_{k}-L){\bigg |}+K|L|\right)\\\displaystyle {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left[\sum \limits _{k=K+1}^{n}|a_{k}-L|+K|L|\right]={\dfrac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}|a_{k}-L|+{\dfrac {K}{n}}|L|<{\dfrac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}{\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {K}{n}}|L|\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}\cdot {\dfrac {n-K}{n}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}={\dfrac {\varepsilon }{2}}\end{matrix}}$$

נסכם: נסמן $N=\max\{K,N_{1},N_{2}\}$ ונקבל כי לכל $n\geq N$ מתקיים: $$\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{m=K+1}^{n}a_{m}-L\right|\ {\color {red}\leq }\ \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}a_{k}\right|+\left|{\frac {1}{n}}\sum _{m=K+1}^{n}a_{m}-L\right|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$$ אזי $A_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}\to L$ כדרוש.

$\blacksquare$