משפט
תהי
{
a
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
סדרה המתכנסת לגבול סופי
L
{\displaystyle L}
. אזי גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול
L
{\displaystyle L}
:
סדרת הממוצעים החשבונית:
A
n
=
a
1
+
⋯
+
a
n
n
=
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}
סדרת הממוצעים ההנדסית:
G
n
=
a
1
×
⋯
×
a
n
n
=
∏
k
=
1
n
a
k
n
{\displaystyle G_{n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\times \cdots \times a_{n}}}={\sqrt[{n}]{\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}}
אם
a
n
>
0
{\displaystyle a_{n}>0}
לכל
n
{\displaystyle n}
סדרת הממוצעים ההרמונית:
H
n
=
n
1
a
1
+
⋯
+
1
a
n
=
n
∑
k
=
1
n
1
a
k
{\displaystyle H_{n}={\dfrac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}}
אלא אם כן
L
=
0
{\displaystyle L=0}
והסדרה אינה שוות סימן
הוכחה
תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ (ניתן למצוא בסוף העמוד הוכחה ישירות באמצעות הגדרת הגבול) כדי להוכיח התכנסות של הסדרה
{
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}\right\}_{n=1}^{\infty }}
לגבול
L
{\displaystyle L}
כאשר
a
n
→
L
{\displaystyle a_{n}\to L}
.
ברור כי
{
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{n\}_{n=1}^{\infty }}
היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים:
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
+
1
a
k
−
∑
k
=
1
n
a
k
(
n
+
1
)
−
n
=
lim
n
→
∞
a
n
+
1
1
=
lim
n
→
∞
a
n
+
1
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}a_{k}-\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{(n+1)-n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{1}}=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=L}
אזי
A
n
=
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
→
L
{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to L}
כדרוש.
◼
{\displaystyle \blacksquare }
כעת נוכיח את הטענה השלישית.
אם
L
≠
0
{\displaystyle L\neq 0}
אז הטענה נכונה טריוויאלית על־פי מה שהרגע הוכחנו. אם
a
n
→
L
{\displaystyle a_{n}\to L}
נקבל כי
1
a
n
→
1
L
{\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\to {\frac {1}{L}}}
ואז כיון ש־
H
n
=
n
∑
k
=
1
n
1
a
k
=
(
1
n
∑
k
=
1
n
1
a
k
)
−
1
{\displaystyle H_{n}={\frac {n}{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}=\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}\right)^{-1}}
ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של
1
a
n
{\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}}
נקבל מהטענה הראשונה כי
H
n
→
(
1
L
)
−
1
=
L
{\displaystyle H_{n}\to \left({\frac {1}{L}}\right)^{-1}=L}
.
◼
{\displaystyle \blacksquare }
המקרה הפרטי
L
=
0
{\displaystyle L=0}
הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמא פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי
a
n
=
(
−
1
)
n
n
{\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}}
. עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
אברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי
{
1
a
n
}
{\displaystyle \left\{{\frac {1}{a_{n}}}\right\}}
מתכנסת ל־
∞
{\displaystyle \infty }
או ל־
−
∞
{\displaystyle -\infty }
. עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על־פי נימוק דומה למקרה בו
L
≠
0
{\displaystyle L\neq 0}
.
נותר לנו כעת רק להוכיח כי
G
n
→
L
{\displaystyle G_{n}\to L}
אם
a
n
>
0
{\displaystyle a_{n}>0}
לכל
n
{\displaystyle n}
. זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי־שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות:
L
←
H
n
≤
G
n
≤
A
n
→
L
{\displaystyle L\leftarrow H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\to L}
לכן על־פי כלל הסנדוויץ' , גם
G
n
→
L
{\displaystyle G_{n}\to L}
ובזאת הושלמה ההוכחה.
◼
{\displaystyle \blacksquare }
הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור
L
=
0
{\displaystyle L=0}
אך כאן
a
n
>
0
{\displaystyle a_{n}>0}
לכל
n
{\displaystyle n}
, לכן הטענה נכונה במקרה זה כיון שהסדרה שוות סימן.
הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית [ עריכה ]
ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד.
יהי
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
.
a
n
→
L
{\displaystyle a_{n}\to L}
, לכן לפי הגדרת הגבול, קיים
K
∈
N
{\displaystyle K\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
≥
K
{\displaystyle n\geq K}
מתקיים
|
a
n
−
L
|
<
ε
4
{\displaystyle |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}}}
.
כעת נסתכל על תת־סדרת האברים עד
K
{\displaystyle K}
, כלומר:
a
1
,
a
2
,
…
,
a
K
−
1
,
a
K
{\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{K-1},a_{K}}
. כיון ש־
K
{\displaystyle K}
קבוע (ערכו נקבע עפ"י אפסילון), תת־סדרה זו היא סופית ולכן סכום אבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים:
1
n
∑
k
=
1
K
a
k
→
n
→
∞
0
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{K}a_{k}\ {\xrightarrow {n\to \infty }}\ 0}
. אזי, לפי הגדרת הגבול, קיים
N
1
∈
N
{\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
≥
N
1
{\displaystyle n\geq N_{1}}
מתקיים
|
1
n
∑
k
=
1
K
a
k
|
<
ε
2
{\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{K}a_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
.
כעת ניגש לטפל באברים שנמצאים אחרי
K
{\displaystyle K}
, כלומר
a
K
+
1
,
a
K
+
2
,
…
,
a
n
−
1
,
a
n
{\displaystyle a_{K+1},a_{K+2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}}
(נשים לב שזהו אינו מספר סופי של אברים). כל אחד מאברים אלו מקיים
|
a
k
−
L
|
<
ε
4
{\displaystyle |a_{k}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}}}
לכל
K
+
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle K+1\leq k\leq n}
טבעי. נסמן
N
2
=
⌈
4
K
ε
|
L
|
⌉
{\displaystyle N_{2}=\left\lceil {\frac {4K}{\varepsilon }}|L|\right\rceil }
ונשים לב שהדבר גורר כי לכל
n
≥
N
2
{\displaystyle n\geq N_{2}}
מתקיים
K
n
|
L
|
<
ε
4
{\displaystyle {\frac {K}{n}}|L|<{\frac {\varepsilon }{4}}}
. אזי,
|
1
n
∑
k
=
K
+
1
n
a
k
−
L
|
=
|
1
n
∑
k
=
K
+
1
n
a
k
−
n
L
n
|
=
1
n
|
∑
k
=
K
+
1
n
(
a
k
−
L
)
+
(
−
K
L
)
|
≤
1
n
(
|
∑
k
=
K
+
1
n
(
a
k
−
L
)
|
+
K
|
L
|
)
≤
1
n
[
∑
k
=
K
+
1
n
|
a
k
−
L
|
+
K
|
L
|
]
=
1
n
∑
k
=
K
+
1
n
|
a
k
−
L
|
+
K
n
|
L
|
<
1
n
∑
k
=
K
+
1
n
ε
4
+
K
n
|
L
|
<
ε
4
⋅
n
−
K
n
+
ε
4
<
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}a_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}a_{k}-{\frac {nL}{n}}\right|={\dfrac {1}{n}}\left|\sum \limits _{k=K+1}^{n}(a_{k}-L)+(-KL)\right|\ {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left({\bigg |}\sum \limits _{k=K+1}^{n}(a_{k}-L){\bigg |}+K|L|\right)\\\displaystyle {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left[\sum \limits _{k=K+1}^{n}|a_{k}-L|+K|L|\right]={\dfrac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}|a_{k}-L|+{\dfrac {K}{n}}|L|<{\dfrac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}{\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {K}{n}}|L|\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}\cdot {\dfrac {n-K}{n}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}={\dfrac {\varepsilon }{2}}\end{matrix}}}
נסכם: נסמן
N
=
max
{
K
,
N
1
,
N
2
}
{\displaystyle N=\max\{K,N_{1},N_{2}\}}
ונקבל כי לכל
n
≥
N
{\displaystyle n\geq N}
מתקיים:
|
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
−
L
|
=
|
1
n
∑
k
=
1
K
a
k
+
1
n
∑
m
=
K
+
1
n
a
m
−
L
|
≤
|
1
n
∑
k
=
1
K
a
k
|
+
|
1
n
∑
m
=
K
+
1
n
a
m
−
L
|
<
ε
2
+
ε
2
=
ε
{\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{m=K+1}^{n}a_{m}-L\right|\ {\color {red}\leq }\ \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}a_{k}\right|+\left|{\frac {1}{n}}\sum _{m=K+1}^{n}a_{m}-L\right|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
אזי
A
n
=
1
n
∑
k
=
1
n
a
k
→
L
{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}\to L}
כדרוש.
◼
{\displaystyle \blacksquare }