הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/משפט שטולץ

משפט (שטולץ / שטולץ־צ'זארו)

תהי $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה כלשהי, ותהי $\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת $y_{n}\to \infty$ .

אם $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=L$ במובן הרחב, אזי גם $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L$ .

הוכחה

לפי הגדרת הגבול, לכל $\varepsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים:

$$L-\varepsilon <{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\varepsilon$$

$y_{n}$ סדרה מונוטונית עולה ממש, לכן $y_{n+1}>y_{n}$ או $y_{n+1}-y_{n}>0$ וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל:

$$(L-\varepsilon )({y_{n+1}-y_{n}})<x_{n+1}-x_{n}<(L+\varepsilon )(y_{n+1}-y_{n})$$

יהי $K\in \mathbb {N}$ המקיים $K>N$ . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא:

$${\begin{matrix}(L-\varepsilon )\sum \limits _{i=N}^{K}(y_{i+1}-y_{i})<\sum \limits _{i=N}^{K}(x_{i+1}-x_{i})<(L+\varepsilon )\sum \limits _{i=N}^{K}(y_{i+1}-y_{i})\\\\(L-\varepsilon )(y_{K+1}-y_{N})<x_{K+1}-x_{N}<(L+\varepsilon )(y_{K+1}-y_{N})\end{matrix}}$$

נחלק את אי־השוויון ב־$y_{K+1}>0$ ונקבל:

$${\begin{matrix}(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}-{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)\\\\(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}\end{matrix}}$$

$y_{n}\to \infty$ , לכן קיים $M\in \mathbb {N}$ המקיים $M\geq K$ כך שיתקיים:

$$L-\varepsilon <{\frac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<L+\varepsilon$$

לכן $\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L$ .

$\blacksquare$

הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה $y_{n}$ תהיה חיובית ומונוטונית עולה רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.