אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות/כפל שלוש מטריצות מקיים כפל אסוציאטיבי

משפט 1: אסוציאטיביות כפל מטריצות נתונות מטריצות: $A$ בגודל $m\times n$ $B$ בגודל $l\times m$ $C$ בגודל $k\times l$ אז $\underbrace {(CB)} _{kxm}\underbrace {A} _{mxn}=\underbrace {C} _{kxl}\underbrace {(BA)} _{lxn}$.

נסמן: $A={\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}$, $B={\begin{bmatrix}b_{11}&\dots &b_{1m}\\\vdots &&\vdots \\b_{l1}&\dots &b_{lm}\end{bmatrix}}$ ו- $C={\begin{bmatrix}c_{11}&&c_{1l}\\\\c_{k1}&&c_{kl}\end{bmatrix}}$

נכפל את המטריצות ונסמן, $\underbrace {BA} _{lxn}=G={\begin{bmatrix}g_{11}\\\\&&g_{ln}\end{bmatrix}}$

וגם $\underbrace {CB} _{kxm}=H={\begin{bmatrix}h_{11}\\\\&&h_{km}\end{bmatrix}}$

נכפיל את המטריצות שהתקבלו במטריצה שלישית ונוכיח כי שתי ההכפלות זהות:

• נתבונן על מכפלה $CG$: המקדם בשורה ה -$i$ והעמודה ה-$j$ של $CG$ הינו $\sum _{r=1}^{l}c_{ir}g_{rj}=\sum _{r=1}^{l}c_{ir}\cdot \left(\sum _{s=1}^{m}b_{rs}\cdot a_{sj}\right)=\sum _{r=1}^{l}\sum _{s=1}^{m}c_{ir}\cdot b_{rs}\cdot a_{sj}$
• נתבונן על מכפלה $HA$: המקדם בשורה ה -$i$ והעמודה ה-$j$ של $HA$ הינו $\sum _{s=1}^{m}h_{is}\cdot a_{sj}=\sum _{s=1}^{m}\left(\sum _{r=1}^{l}c_{ir}\cdot b_{rs}\right)\cdot a_{sj}=\sum _{s=1}^{m}\sum _{r=1}^{l}c_{ir}\cdot b_{rs}\cdot a_{sj}$

שני הביטויים זהה ולכן מכפלת שלוש המטריצות שווה.