מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקצית השורש

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] תבנית

y=\sqrt{f(x)}. למשל : f(x)=\sqrt{2}, f(x)=\sqrt{\frac{2x+3}{x}}.

[עריכה] תיאור הפונקציה

לפונקציית השורש אין מראה החוזר על עצמו.

[עריכה] תחום הגדרה

  1. תחום ההגדרה של הפונקציה שנמצאת בתוך השורש
  2. אין פתרון לשורש שלילי, לכן, תחום ההגדרה יכלול גם את כל הנקודות ש : \sqrt{f(x)\ge 0}.

[עריכה] חיתוך עם הצירים

  1. חיתוך עם ציר X : נציב y=0 ונפתור.
  2. חיתוך עם ציר Y : נציב x=0 ונפתור.

[עריכה] תחום שלילי וחיובי

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

[עריכה] נקדת הקיצון

  1. גזירת הפונקציה. נגזרת של פונקצית שורש  : \sqrt{f(x)'}=\frac{f(x)'}{2\sqrt{f(x)}}
  2. מציאת ערכי X של הנקודות - השוואה לאפס (\ f'(x) = 0).
  3. מציאת ערכי Y של הנקודות- את ערכי ה-y נמצא על ידי הצבת ערכי ה-X במשוואה הפונקציה המקורית.

[עריכה] נקודות פיתול

השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר :

  1. נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית שורש  : \sqrt{f(x)'}=\frac{f(x)'}{2\sqrt{f(x)}}
  2. נשווה נגזרת לאפס.
  3. נפתור את המשוואה.
  4. נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".

[עריכה] תחומי עליה וירידה

כמו תמיד נעזר בטבלה בה נציב :

  • נקודות הקיצון החשודות על פי סדר עולה ואת נקודת תחום ההגדרה.
  • נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
    • נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר :
      • ערכי הנגזרת (y') חיובים - הפונקציה עולה.
      • ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
  • נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום ומי הן נקודות מקסימום

[עריכה] אסיפטוטות

[עריכה] אסיפטוטה אנכית לציר X

  1. פישוט הפונקציה ככל הניתן (למניעת אפשרות לחור).
  2. בדיקת תחום הגדרה (לא לשכוח חייב ש: \sqrt{x}\ge0).
  3. אסימפטוטה אנכית היא כל אותן נקודות המופיעות בתחום ההגדרה.

[עריכה] אסיפטוטה אופקית

  1. מציאת ערך ה-X הגדול ביותר בפונקציה.
  2. שלושת המצבים :
    • y=0 (מתלכדת עם ציר ה-X בגרף)- כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במכנה (מספר קטן חלקי מספר גדול שווה לכמו אפס).
    • אין אסימפטוטה המקבילה לציר X-כאשר מעריך החזקה הגבוה ביותר נמצא במונה. במקרה כזה המכנה הופך להיות לכמו אפס. חלוקה לאפס אינה חוקית, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
    • אסיפטוטה Y היא ערך מקדמי ה-X הגבוה - אם גם במונה וגם במכנה קיים איבר המכיל את x ברמה הגבוהה שנבחרה, הרי שאחרי הצמצום יישארו רק המקדמים של האיברים, ומנתם תהיה ערך האסימפטוטה האופקית.
  3. רשימת הערכים בהם :
    • \lim_{X \to \infty}.
    • \lim_{X \to -\infty}.
  4. בדיקת נקודת חיתוך - הצבת הפתרונות y אסימפטוטת בפונקציה.

[עריכה] תיאור גרפי

הצבת כל הנתונים במקרא מסודרת ויצירת גרף.


מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%AA/%D7%97%D7%A9%D7%91%D7%95%D7%9F_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99/%D7%A4%D7%95%D7%A0%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%AA_%D7%94%D7%A9%D7%95%D7%A8%D7%A9