מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
פונקצית שורש מורכבת
תבנית
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {\frac {f(x)}{g(x)}}}}
(הדוגמה המסובכת ביותר בבגרות לפונקצית שורש)
תחום הגדרה ותנאים מקדמים
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle {\sqrt {f(x)\geq 0}}}
פונקצית שורש עם כללי גזירה: חשוב לוודא את תחום ההגדרה של כלל הפונקציות. לדוגמה כאשר הפונקציה היא
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle y={\sqrt {\frac {f(x)}{g(x)}}}}
g
(
x
)
>
0
{\displaystyle g(x)>0}
חיתוך עם הצירים
ציר
x
{\displaystyle x}
נציב
y
=
0
{\displaystyle y=0}
משוואה עם שורשים .
ציר
y
{\displaystyle y}
הצבה
x
=
0
{\displaystyle x=0}
פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים:
יש חיתוך - פתרון יחיד.
אין חיתוך - משוואה לא-הגיונית, כמו למשל
2
=
0
{\displaystyle 2=0}
נקודת הקיצון
גזירת הפונקציה על-פי נגזרת של פונקצית שורש , כלל הגזירה של פונקציה המוכפלת במספר קבוע, כלל הגזירה מנה של פונקציות:
f
(
x
)
′
=
f
′
(
x
)
2
f
(
x
)
{\displaystyle {\sqrt {f(x)}}'={\frac {f'(x)}{2{\sqrt {f(x)}}}}}
מציאת ערכי
x
{\displaystyle x}
השוואה לאפס (
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
מציאת ערכי
y
{\displaystyle y}
את ערכי ה-
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
נקודות פיתול
מציאה באמצעות טבלה
השלבים למציאת נקודת פיתול זהים לשלבים של מציאת נקודת קיצון, כלומר:
נבצע גזירה. נגזרת של פונקצית שורש:
f
(
x
)
′
=
f
′
(
x
)
2
f
(
x
)
{\displaystyle {\sqrt {f(x)}}'={\frac {f'(x)}{2{\sqrt {f(x)}}}}}
נשווה נגזרת לאפס.
נפתור את המשוואה.
נגלה את סוג הנקודה באמצעות טבלה - בניגוד לנקודת קיצון (שיש עליה וירידה או להפך), עבור נקודת פיתול, הפונקציה "תעלה ותעלה" או "תרד ותרד".
מציאה באמצעות נגזרת שניה
אסימפטוטות
אנכית
אם יש לנו ערך המאפס את המכנה תמיד נבנה טבלה ונבחן האם מדובר בחור או באסימפטוטה:
בטבלה יהיו שבעה ערכים כשהמרכזי הוא ערך הנקודה החשודה.
יש להציב שישה ערכי
x
{\displaystyle x}
לחשב את ערך
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
לבחון את התנהגות הפונקציה:
אם ערך
y
{\displaystyle y}
אם ערך
y
{\displaystyle y}
אופקית
פתרון אפשרי באמצעות הדרך הקצרה והארוכה כאחד. נדגים את הדרך הארוכה באמצעות הפונקציה
y
=
2
+
4
x
x
2
−
9
{\displaystyle y=2+{\frac {4x}{\sqrt {x^{2}-9}}}}
נמצא את הערכים בהם
f
(
x
)
>
0
{\displaystyle {\sqrt {f(x)}}>0}
x
2
−
9
>
0
{\displaystyle x^{2}-9>0}
אי-שוויון ממעלה שניה (הפתרון
x
<
−
3
,
x
>
3
{\displaystyle x<-3,x>3}
נחלק את הפונקציה בנעלם עם החזקה הגדולה
y
=
2
+
4
x
x
x
2
−
9
x
{\displaystyle y=2+{\dfrac {\dfrac {4x}{x}}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-9}}{x}}}}
נבדוק עבור התחום
x
>
3
{\displaystyle x>3}
x
{\displaystyle x}
lim
x
→
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }}
lim
x
→
∞
[
2
+
4
x
x
2
−
9
]
=
lim
x
→
∞
[
2
+
4
x
x
x
2
−
9
x
]
=
lim
x
→
∞
[
2
+
4
1
−
9
x
2
]
=
2
−
4
1
−
0
=
6
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[2+{\frac {4x}{\sqrt {x^{2}-9}}}\right]=\lim _{x\to \infty }\left[2+{\dfrac {\dfrac {4x}{x}}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-9}}{x}}}\right]=\lim _{x\to \infty }\left[2+{\dfrac {4}{\sqrt {1-{\dfrac {9}{x^{2}}}}}}\right]=2-{\frac {4}{\sqrt {1-0}}}=6}
נבדוק עבור התחום
x
<
−
3
{\displaystyle x<-3}
x
{\displaystyle x}
lim
x
→
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }}
נכניס את הנעלם לשורש, מאחר והוא שלילי עלינו להשאיר מינוס בחוץ
lim
x
→
−
∞
[
2
+
4
x
x
2
−
9
]
=
lim
x
→
−
∞
[
2
+
4
x
x
x
2
−
9
x
]
=
lim
x
→
−
∞
[
2
−
4
1
−
9
x
2
]
=
2
−
4
1
−
0
=
−
2
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\left[2+{\frac {4x}{\sqrt {x^{2}-9}}}\right]=\lim _{x\to -\infty }\left[2+{\dfrac {\dfrac {4x}{x}}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-9}}{x}}}\right]=\lim _{x\to -\infty }\left[2-{\dfrac {4}{\sqrt {1-{\dfrac {9}{x^{2}}}}}}\right]=2-{\frac {4}{\sqrt {1-0}}}=-2}
האסימפטוטות לפונקציה בתחום
x
>
3
{\displaystyle x>3}
x
=
6
{\displaystyle x=6}
x
>
−
3
{\displaystyle x>-3}
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
נבדוק כי האסימפטוטות אינן נחתכות עם הפונקציה על-ידי הצבת ערכיהן בפונקציה
תחומי עליה וירידה
נעזר בטבלה בה נציב:
נקודות הקיצון החשודות על-פי סדר עולה ואת נקודות תחום ההגדרה.
נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
נציב בנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר:
ערכי הנגזרת
y
′
{\displaystyle y'}
ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום, מקסימום, פיתול וכו'.
נמצא תחומי עליה וירידה
תחום שלילי וחיובי
הפונקציה אינה יכולה לקבל ערכים שלילים בשל השורש (אלא אם יש חזקה).
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[2+{\frac {4x}{\sqrt {x^{2}-9}}}\right]=\lim _{x\to \infty }\left[2+{\dfrac {\dfrac {4x}{x}}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-9}}{x}}}\right]=\lim _{x\to \infty }\left[2+{\dfrac {4}{\sqrt {1-{\dfrac {9}{x^{2}}}}}}\right]=2-{\frac {4}{\sqrt {1-0}}}=6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95571c8b955bfa72fc9522e282234c84c0fb3ba)
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\left[2+{\frac {4x}{\sqrt {x^{2}-9}}}\right]=\lim _{x\to -\infty }\left[2+{\dfrac {\dfrac {4x}{x}}{\dfrac {\sqrt {x^{2}-9}}{x}}}\right]=\lim _{x\to -\infty }\left[2-{\dfrac {4}{\sqrt {1-{\dfrac {9}{x^{2}}}}}}\right]=2-{\frac {4}{\sqrt {1-0}}}=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd85c4e4d125cb76a252469da7ed8f02c3613c1)
