מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/מבוא לקבוצות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] הגדרה

קבוצה הינה אוסף של איברים. בתורת הקבוצות, "איברים" יכולים להיות מכל סוג שהוא - סוסים, מרצפות, אטבים, שתילים, עגבניות, חייזרים ועוד ועוד כיד בדימיון הטובה עלינו. בקורס זה, "קבוצה" תהיה עבורינו אוסף של מספרים, ומספרים בלבד.

[עריכה] סימון

קבוצה תסומן תמיד באות לטינית גדולה, ואיבריה יירשמו בתוך סוגריים מסולסלות {}. יש לציין כי סימון קבוצה שקול להגדרתה (כלומר, אם נרצה להגדיר קבוצה מסויימת, מספיק לרשום או לסמן אותה באחת מהדרכים שנראה מיד) ישנן כמה דרכים בהן ניתן לכתוב את איברי הקבוצה בתוך הסוגריים. אנו נתבונן בשלוש הנפוצות:

  • רשימה מפורשת של כל האיברים שבה, מופרדים באמצאות פסיקים. דוגמה: נתונה הקבוצה \ A , המכילה את האיברים הבאים: \ 3, 4, 5, 7 . אזי נוכל לכתוב את \ A באופן הבא:
\ A=\begin{Bmatrix} 3,4,5,7 \end{Bmatrix}
  • איפיון של איברי הקבוצה: במקרה זה קבוצה זו מכילה את כל האיברים בעולם בעלי איפיון זה. דוגמה: הקבוצה \ B מכילה את כל המספרים הראשונים הקטנים מ- \ 17 . נסמן \ P = כל המספרים הראשוניים, ואז נרשום:
\ B=\begin{Bmatrix} p \in P | p<17\end{Bmatrix}
    • הביטוי \ p \in P פירושו, כזכור, שהאיבר \ p שייך לקבוצה \ P .
    • הביטוי \ | פירושו "כך ש" ולפעמים נכתוב במקומו נקודתיים
    • הביטוי \ p<17 הוא התנאי, אותו חייב לקיים כל איבר בקבוצה \ B ; במקרה זה כל איבר בקבוצה חייב להיות קטן מ-17.
    • כמו כן, כל מספר ראשוני הקטן מ-17 נמצא בקבוצה \ B . כלומר את התנאי שלנו מקיים כל איבר בקבוצה \ B , וכל איבר בעולם שמקיים את התנאי - נמצא בקבוצה \ B . (משפט זה חשוב מאוד - קראו אותו שוב והיו בטוחים שהבנתם את משמעותו!)
  • רשימה מפורשת של איברים, בדרך מקוצרת. דוגמה: נתונה הקבוצה \ G המכילה n איברים שונים \ x_1, x_2, x_3, ...x_n (כלומר האיברים \ x בעלי אינדקס 1, 2 וכולי עד האינדקס \ n . נוסיף ונציין כי איננו יודעים מהו ערכו של המספר \ n , ולכן לא נוכל לרשום במפורש את כל איברי הקבוצה \ G ) אזי, במקום לכתוב במפורש \ G=\begin{Bmatrix} x_1, x_2, x_3, ...x_n\end{Bmatrix} נוכל לרשום את הקבוצה באופן הבא:
\ G=\begin{Bmatrix} x_i \end{Bmatrix}{}_{i=1}^n

[עריכה] קבוצות מיוחדות

ישנן כמה קבוצות של מספרים שהן חשובות מאוד. קבוצות אלה זכו לסימונים מיוחדים:

[עריכה] קבוצת המספרים הטבעיים

סימונה של קבוצת המספרים הטבעיים הוא \mathbb{N} (מלשון Natural), והיא מכילה את כל המספרים השלמים האי שליליים, כלומר את המספרים: \ 1, 2, 3, 4 וכן הלאה. מספרים אלה נקראים "טבעיים" משום שעצמים שלמים אי-שליליים מצויים בטבע בשפע - עץ אחד, סוס אחד וכולי.

  • ישנה אסכולה הכוללת גם את המספר אפס \ 0 במספרים הטבעיים. אנחנו, כאמור, נכלול בקבוצה זו את המספרים החיוביים בלבד.
  • בסימוני תורת הקבוצות שלמדנו למעלה, נוכל לכתוב את הקבוצה \mathbb{N} באופן הבא:

\mathbb{N}=\begin{Bmatrix}1,2,3...\end{Bmatrix}

  • מספר השייך לקבוצת המספרים הטבעיים נקרא "מספר טבעי".

[עריכה] קבוצת המספרים השלמים

סימונה של קבוצת המספרים השלמים הוא \mathbb{Z} (מלשון Zahl - מספר בגרמנית, או Zählend שפירושו בגרמנית ספִירה), והיא מכילה את כל המספרים השלמים, כלומר: את \ 0,1, 2, 3, 4 וכולי, אבל גם את \ -1, -2, -3, -4 (וכולי). בסימוני תורת הקבוצות שלמדנו למעלה, נוכל לרשום את הקבוצה \mathbb{Z} באופן הבא:

\mathbb{Z}=\begin{Bmatrix}\cdots -3,-2,-1,0,1,2,3\cdots\end{Bmatrix}

  • מאוחר יותר, כשנלמד סימן נוסף, נכיר דרך נוספת בה נוכל לרשום את \mathbb{Z} .
  • מספר השייך לקבוצת המספרים השלמים נקרא "מספר שלם".

[עריכה] קבוצת המספרים הרציונליים

סימונה של קבוצת המספרים הרציונליים הוא \mathbb{Q} (מלשון Quotient - מנה), והיא מכילה את כל השברים מהצורה \frac{p}{q} , כאשר \ p ו- \ q הינם מספרים שלמים ו- \ q שונה מ- \ 0 , כלומר מספרים השייכים לקבוצה \mathbb{Z} . בסימוני תורת הקבוצות, נוכל לכתוב את הקבוצה \mathbb{Q} באופן הבא:

\mathbb{Q}=\begin{Bmatrix} \frac{p}{q} | p,q \in \mathbb{Z}, q \ne 0\end{Bmatrix}

  • במקרה זה, כפי שנאמר למעלה, המספרים \ p ו- \ q צריכים למלא שני תנאים: גם להיות איברים בקבוצה \mathbb{Z} , וגם \ q צריך להיות שונה מאפס. מאוחר יותר, נכיר את הכמת "וגם". כרגע נסתפק בפסיק בין התנאים.
  • שמה הלטיני של הקבוצה - Quotient - נובע מהעובדה שכל איבר בקבוצה (כלומר, כל מספר בה) הוא תוצאת חילוק, היינו מנה.
  • מספר השייך לקבוצת המספרים הרציונליים נקרא "מספר רציונלי".

[עריכה] קבוצת המספרים הממשיים

סימונה של קבוצת המספרים הממשיים הוא \mathbb{R} (מלשון Real). קשה להגדיר קבוצה זו בצורה פשוטה, אך ניתן לחשוב עליה אינטואיטיבית כקבוצת כל המספרים שנמצאים על הקו הישר שעליו נמצאים כל המספרים השלמים. מאוחר יותר, נראה שהמספרים הממשיים הם למעשה גבולות של כל הסדרות המתכנסות האפשריות שאבריהן הם מספרים רציונליים, מה שנקרא "סדרות קושי". ישנה דרך נוספת להגדיר את המספרים הממשיים, זאת באמצעות עצמים מתמטיים אחרים הנקראים "חתכי דדקינד" ויוצגו בהמשך. כרגע, נקרא להם פשוט "כל המספרים".

  • בקורס זה, קבוצת המספרים הממשיים היא הקבוצה בה נתעסק.
  • מספר השייך לקבוצת המספרים הממשיים נקרא "מספר ממשי".

[עריכה] קבוצת המספרים המרוכבים

סימונה של קבוצת המספרים המרוכבים (מדומים) הוא \mathbb{C} (מלשון Complexed), ולצורך הגדרתה עלינו להגדיר "מספר" חדש: נסמן: \ i=\sqrt{-1} , ואז נוכל לכתוב את הקבוצה \mathbb{C} באופן הבא:

\mathbb{C}=\begin{Bmatrix} \alpha + \beta i | \alpha , \beta \in \mathbb{R} \end{Bmatrix}

  • במילים: הקבוצה \mathbb{C} מכילה את כל המספרים מהצורה \ \alpha + \beta i , כאשר \ \alpha ו- \ \beta הינם מספרים ממשיים, כלומר מספרים השייכים לקבוצה \mathbb{R}.
  • שמה הלטיני של הקבוצה - Complexed - כמו גם כינוייה "קבוצת המרוכבים", נובע מכך שאיבר כללי בה מורכב משני איברים: אחד שמכיל את \ i , ואחד שלא מכיל את \ i . השם "מדומים" מגיע מהעובדה שהמספר \sqrt{-1} הוא מספר שאינו קיים במציאות, אלא מספר שאנו נעזרים בו לצורך חישובים בלבד. בקורס זה, לא נתעסק עם מספרים מדומים כלל.
  • מספר השייך לקבוצת המספרים המרוכבים (מדומים) נקרא "מספר מדומה (מרוכב)".

[עריכה] הקבוצה הריקה

סימונה של הקבוצה הריקה הוא \empty , וכשמה כן היא - ריקה, כלומר אינה מכילה אף איבר. למעשה, נוכל לומר שמתקיים: \forall x, x \not\in \empty . כלומר: לכל איבר \ x שהוא, \ x אינו שייך לקבוצה הריקה. בהמשך הקורס נלמד להבין את חשיבותה של קבוצה זו (וכמובן, גם בקורס תורת הקבוצות).

[עריכה] קבוצת הממשיים החיוביים

עבור הקבוצה \mathbb{R} מגדירים לפעמים את תת-הקבוצה \mathbb{R}^+ , המכילה את כל המספרים החיוביים ב- \mathbb{R} . כלומר: \mathbb{R}^+ = \left\{ x\in\mathbb{R}|x > 0 \right\}.


הפרק הקודם:
ניסוחים במתמטיקה והסבר להם		 מבוא לקבוצות הפרק הבא:
הגדרות וסימונים נוספים



מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%95%D7%90_%D7%9C%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%90%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%91%D7%A8%D7%A1%D7%99%D7%98%D7%90%D7%99%D7%AA/%D7%9E%D7%91%D7%95%D7%90_%D7%9C%D7%A7%D7%91%D7%95%D7%A6%D7%95%D7%AA