מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/הגדרות וסימונים נוספים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

[עריכה] \in סימן השייך ל...

אם נרצה לומר, שהאיבר \ x שייך לקבוצה \ X , נוכל לרשום: x \in X.

  • גם סימן זה דומה לאות E הלטינית. קל לזכור שזהו הסימן לאלמנט בקבוצה אם נזכור כי אלמנט באנגלית הוא Element.

[עריכה] \notin סימן הלא שייך ל...

באותה צורה כמו למעלה, אם נרצה לומר שהאיבר \ y אינו שייך לקבוצה \ X, נרשום: y \notin X .

[עריכה] פסוק

פסוק הינו עובדה, טענה או משפט, שיכולים להיות אמת או שקר. למשל: אם היום יום רביעי, נוכל לומר שהפסוק "היום יום רביעי" הוא פסוק אמת. לעומת זאת, אם היום יום רביעי, הפסוק "היום יום ראשון" הוא פסוק שקרי. בחשבון אינפיטיסימלי ובמתמטיקה בכלל, משתמשים לרוב במילה "טענה" במקום במילה "פסוק". לעיתים, משתמשים במילה "משפט", שהוא במתמטיקה בעל משמעות יותר חזקה.

[עריכה] \subseteq סימן ה"מכיל את" (או "מוכל ב")

אם נרצה לומר, שהקבוצה \ A מכילה את הקבוצה \ B , או לחילופין - שהקבוצה \ B מוכלת בתוך הקבוצה \ A , נכתוב: B\subseteq A או \ A\supseteq B. למשל: נסמן (או נגדיר): \ A=\left\{ 1,2,3,4 \right\}, B=\left\{ 1,2,3 \right\} . ואז מתקיים: \ B\subseteq A.

  • במקרה כזה, נגיד ש- \ B היא תת קבוצה של \ A או קבוצה חלקית ל- \ A .
  • דרך אחרת להביע את \ B\subseteq A, היא לכתוב: \forall x\in B, x\in A (כלומר: כל איבר השייך לקבוצה \ B שייך גם לקבוצה \ A ).
  • אם קיים איבר בקבוצה \ A שאינו נמצא בקבוצה \ B , נגיד שהקבוצה \ B מוכלת ממש בקבוצה \ A . נכתוב זאת בשפת תורת הקבוצות: \exists x\in A|x\not\in b.
סימון להכלה ממש: \ B\subset A. במקרה זה, נוכל לכתוב ש- \ A\not\subset B (כלומר \ A אינה מוכלת ב- \ B ).
  • יש המסמנים הכלה בעזרת הסימון \ B\subset A, ואילו הכלה ממש בעזרת \ B\subsetneq A. בקורס זה, נדבוק בסימונים שצויינו למעלה.
  • קל לראות, שכל קבוצות המספרים שהוגדרו בסעיף הקודם מקיימות ביניהן את הקשר הבא:
\empty\subseteq\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}

למעשה, בכל המקרים מדובר בהכלה ממש.

  • עבור הקבוצה הריקה \empty, מתקיים: לכל קבוצה \ A , \empty\subseteq A
  • לכל קבוצה \ A , מתקיים: \ A\subseteq A (תכונת הרפלקסיביות).
  • תכונת הטרנזיטיביות: אם \ A\subseteq B וגם \ B\subseteq C, אזי \ A\subseteq C . אם נרצה להשתמש לגמרי בכתיב של תורת הקבוצות (כלומר בכתיב מתמטי), נכתוב:
\left( A\subseteq B\wedge B\subseteq C \right)\Rightarrow A\subseteq C
  • חשוב מאוד להיזהר ולשים לב להבדלים שבין שייכות לבין הכלה! נתבונן, למשל, בדוגמה הבאה: \ A= \left\{ 15, a\, cow, 12, 78 \right\} . במקרה זה, נכון לכתוב \ 12\in A , אבל לא נכון לכתוב \ 12\subseteq A! לעומת זאת, מתקיים: \empty\subseteq A (כי כל איבר של \empty, באופן ריק, הוא גם איבר של \ A ) , אבל לא מתקיים \empty\in A, (משום שהקבוצה \ A אינה מכילה את האיבר \left( \empty \right..

דוגמה נוספת: נתונה הקבוצה הבאה: \ A=\left\{ 1,2,\left\{ 2,3,\right\} ,\left\{ 4,5\right\} \right\} . עבור כל אחד מהבאים, קבעו האם הוא איבר של \ A או תת-קבוצה שלה. נמקו.
א. \ 2.
ב. \ B= \left\{ \left\{ 2,3\right\} \right\}
ג. \ C= \left\{ 2,3\right\}
פתרון:
א. אם נתבונן בקבוצה \ A נראה שהמספר \ 2 מופיע בה ואינו חלק מתת-קבוצה שלה, לכן נוכל לכתוב: \ 2\in A .
ב. ראשית נשאל: מהי משמעות הסימון \ \left\{ \left\{ 2,3\right\} \right\} ? ונענה: קבוצה שמכילה את האיבר \ \left\{ 2,3 \right\}, ורק אותו. נשים לב שגם הקבוצה \ A מכילה איבר זה, כלומר - כל איבר שמכילה הקבוצה \ B, מכילה גם הקבוצה \ A. לכן, הקבוצה \ B מוכלת בקבוצה \ A, ונכתוב: \ \left\{\left\{ 2,3\right\}\right\}\subseteq A. מאחר ומדובר בהכלה ממש (הקבוצה \ A מכילה איברים שאינם מוכלים בקבוצה זו) נוכל לכתוב אפילו \ \left\{\left\{ 2,3\right\}\right\}\subset A.
ג. הקבוצה \ C=\left\{ 2,3\right\} הינה הקבוצה שמכילה את האיברים \ 2,3 . נתבונן בקבוצה \ A: היא מכילה את הקבוצה \ C כאיבר, לכן מתקיים: \ C= \left\{ 2,3 \right\} \in A .

[עריכה] סימון לשלילה

ישנם שני סימונים אפשריים: \neg או \sim . למשל: לא נכון להגיד ש- \ 2<1 , לכן הביטוי \sim\left( 2<1 \right) נכון.

[עריכה] \wedge הכמת "וגם"

כל התנאים הרשומים מצידי הסימן \wedge נכונים, או לחילופין - כולם צריכים להתמלא על מנת שפסוק מסויים יהיה אמיתי. למשל: נניח שאדם רוצה לקנות ארטיק בטעם שוקו וגם ארטיק בטעם וניל. אז על מנת שהאדם יוכל להגשים את רצונו, צריך שבקיוסק יהיה גם ארטיק בטעם שוקו וגם ארטיק בטעם וניל. במילים אחרות, צריך להתקיים:
(בקיוסק יש ארטיק בטעם שוקו) \wedge (בקיוסק יש ארטיק בטעם וניל).

[עריכה] \vee הכמת "או"

מספיק שאחד התנאים הרשומים מאחד מצדדיו של סימן ה- \vee יתקיימו על מנת שפסוק כלשהו יהיה אמת, ואין זה משנה כלל אם מתקיים תנאי אחד או אם מתקיימים יותר. למשל: נניח שאדם רוצה לקנות ארטיק בטעם שוקו או ארטיק בטעם וניל. לשם כך, מספיק שיהיה בקיוסק אחד מהארטיקים המבוקשים, ואין זה מפריע כלל אם שניהם נמצאים בקיוסק. כלומר, הדרישה מתמלאת בכל אחד מהמקרים הבאים:

  • יש רק ארטיק בטעם שוקו בקיוסק.
  • יש רק ארטיק בטעם וניל בקיוסק.
  • יש גם ארטיק בטעם שוקו בקיוסק וגם ארטיק בטעם וניל.

נוכל לרשום את הדרישה באופן הבא:
(בקיוסק יש ארטיק בטעם שוקו) \vee (בקיוסק יש ארטיק בטעם וניל).

[עריכה] \sum סימון לסכימה

נניח שנתונים לנו \ n איברים \ x_1, x_2,x_3, .... x_n, ואנחנו רוצים למצוא את הסכום של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא: \sum_{i=1}^n x_i =x_1+x_2+x_3+...+x_n.

  • דוגמה: את הסכום של סידרה הנדסית בת \ n איברים, שאיברה הראשון \ 1 וגורם המכפלה שלה הינו \ q , ניתן לרשום באופן הבא: \sum_{i=1}^n q^i =\frac{q^{n+1}-1}{q-1}.
  • דוגמא נוספת: הבינום של ניוטון: \left( a+b \right)^n = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\times a^k b^{n-k} , כאשר מגדירים: {n\choose k} = C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!} .

[עריכה] \prod סימון למכפלה

נניח שנתונים לנו \ n איברים \ x_1, x_2,x_3, .... x_n, ואנחנו רוצים לחשב את המכפלה של כולם. אזי, נוכל לרשום זאת באופן הבא: \prod_{i=1}^n x_i =x_1\times x_2\times x_3\times ...\times x_n.

[עריכה] סימן ההגדרה

אמרנו כבר, שכדי להגדיר קבוצה מספיק לרשום אותה. אולם, לעיתים נרצה להגדיר דברים אחרים - למשל, משתנים. נניח שאנו משתמשים הרבה בביטוי \sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha, ומעוניינים לחסוך לעצמינו את הטרחה שבכתיבת הביטוי שוב ושוב. על מנת לעשות זאת, נוכל להגדיר משתנה חדש, שיסמן עבורינו את הביטוי הנ"ל. נניח שנקרא למשתנה החדש \ x . נכתוב: \ x:=\sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha
או לחילופין: \ x\stackrel{\triangle}{=} \sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha
או לחילופין: \ x\equiv \sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha.
כאשר המשמעות היא, כאמור: \ x מוגדר להיות הביטוי הנ"ל. כלומר, בכל מקום שבו כתוב \ x , עלינו להתנהג כאילו כתוב \sin ^2 \alpha \times \cos ^5 \beta -15a +12\times\cot \alpha.

  • הערה: הסימן \equiv משמש גם לסימון זהות, לכן אנו נעדיף כאן את השימוש ב- : = או ב- x\stackrel{\triangle}{=} .


הפרק הקודם:
מבוא לקבוצות		 הגדרות וסימונים נוספים הפרק הבא:
אינדוקצייה



מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%9E%D7%91%D7%95%D7%90_%D7%9C%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%A7%D7%94_%D7%90%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%91%D7%A8%D7%A1%D7%99%D7%98%D7%90%D7%99%D7%AA/%D7%94%D7%92%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%A1%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%9D_%D7%A0%D7%95%D7%A1%D7%A4%D7%99%D7%9D