מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/ניסוחים במתמטיקה והסבר להם

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

כפי שנכתב בפרק הקודם, התשתית של כל תורה מתמטית מבוסס על הגדרות ומשפטים. אלו מנוסחים בשפת היום יום ובצירוף סימנים מתמטיים מוכרים. עם זאת ישנם מספר מינוחים היחודיים לשפה המתמטית בהם משתמשים בניסוח כל הגדרה ומשפט, וחשוב מאוד להבין את המשמעות המדוייקת של מילים מסויימות. בפרק זה נסקור מילים חשובות וביטויים חשובים בהם משתמשים מתמטיקאים.

[עריכה] מילים וביטויים שימושיים

[עריכה] לכל

נאמר לכל ונסמן $\forall$ , אם עובדה מסויימת מתקיימת תמיד עבור כל איבר מקבוצת ערכים מסויימת. אם לא מצויינת קבוצה, בד"כ הכוונה לקבוצת המספרים.
לדוגמא: "לכל מספר טבעי n קיים מספר טבעי העוקב לו". את הביטוי "לכל n טבעי" ניתן לכתוב כ- $\forall n \in N$ .

[עריכה] קיים

נאמר קיים ונסמן $\exist$ , אם עובדה מסויימת מתרחשת עבור עצם אחד בעולם לפחות (כלומר יכולים להיות יותר מאחד). לדוגמא:

"לכל מספר טבעי n קיים מספר טבעי העוקב לו" - כאן קיים בדיוק אחד כזה.
"לכל מספר טבעי n קיים מספר טבעי הגדול ממנו" - כאן קיימים אינסוף מספרים כאלו.

[עריכה] בפרט

נאמר שטענה א' מתקיימת בפרט אם הוכחנו כבר טענה ב' שמכילה בתוכה את טענה א'. לדוגמא:

"2 הוא מספר זוגי ובפרט 2 הוא מספר". כלומר כל מספר זוגי הוא מספר ולכן גם 2 מקיים זאת.
" $2 < 5 < x$ ובפרט $2 < x$ ".

[עריכה] רק עבור

נאמר שטענה א' מתקיימת רק עבור קבוצה ב' אם אינה מתקיימת לכל עבור עצמים שאינם בקבוצה ב' וכן מתקיימת עבור עצמים בקבוצה ב'.
נאמר שטענה א' מתקיימת רק אולי עבור קבוצה ב' אם אינה מתקיימת לכל עבור עצמים שאינם בקבוצה ב' ואיננו יודעים האם היא מתקיימת עבור עצמים בקבוצה ב'.

[עריכה] פרט ל-

נאמר שטענה א' מתקיימת פרט ל-קבוצה ב' אם היא מתקיימת לכל עצם אחר מלבד קבוצת עצמים ב' המקיימת תנאי מסויים, ואינה מתקיימת לאף איבר ב-ב'.
נאמר שטענה א' מתקיימת פרט אולי ל-קבוצה ב' אם היא מתקיימת לכל עצם אחר מלבד קבוצת עצמים ב' המקיימת תנאי מסויים, למרות שלא מן הנמנע שהיא כן מתקיימת לחלק מהעצמים ב-ב'. בד"כ משתמשים בטענה מסוג פרט אולי ל- כאשר יש כמה מקרי קצה שאינם מקיימים את הטענה המרכזית, אך עצם קיומם לא יפריע להלך הרוח הכללי. לדוגמא: "הפונקציה $f(x)=\frac{{1}}{{x}}$ היא פונקציה רציפה, פרט אולי לנקודה אחת".

[עריכה] וגם

נאמר ש-א' וגם ב' אם מתקיימים שני התנאים יחדיו.

[עריכה] או

נאמר ש-א' או ב' אם מתקיים לפחות אחד מבין שני התנאים. שימו לב שבשפת היום יום כאשר אומרים או מתכוונים בד"כ לכך שרק אחד התנאים מתקיים, ואילו בניסוח מתמטי יתכן ששני התנאים מתקיימים יחדיו.

[עריכה] יהי

משתמשים במושג "יהי" בהוכחות כאשר רוצים להוכיח טענה כללית כלשהי. נהוג לקחת עצם יחיד ואקראי מתוך קבוצה גדולה ולהוכיח עבורו. מעצם אקראיות הבחירה ההוכחה מורחבת לשאר העצמים בקבוצה. פרוט על שיטת הוכחה זו בפרק הבא.

[עריכה] אִם, אם ורק אִם

משתמשים במונח טענה א' אִם טענה ב', כאשר טענה ב' גוררת אחריה את טענה א' באופן מוחלט. ומסמנים: ב' $\Leftarrow$ א'.
משתמשים במונח טענה א' אם ורק אם טענה ב' (ראשי תיבות אמ"ם או אם"ם) ומסמנים "א' $\iff$ ב'" כאשר כל אחת משתי הטענות גוררת אחריה את רעותה ולמעשה הטענות שקולות.
בכדי להפריד בין שני מקרים אלו, ולמן הסרת ספק, לעיתים כותבים במקום המונח "אִם": "אִם, אבל לא רק אִם" או "אִם... אבל לא להפך".

[עריכה] באופן ריק

במתמטיקה, נהוג לומר על טענה כי היא מתקיימת באופן ריק (אין סימון מיוחד לכך) אם נכונותה אינה עומדת כלל למבחן, בשל העובדה שהיא מדברת על אובייקטים שאינם קיימים. דוגמא לטענה המתקיימת באופן ריק היא זו: "כל מספר ראשוני המתחלק ב-6 מסתיים בספרה 9". מכיוון שלא קיים מספר ראשוני שמתחלק ב-6, הטענה נכונה באופן ריק.

נכונותו הפורמלית של השימוש ב"באופן ריק" נובעת מתכונתו של קשר הגרירה בלוגיקה. קשר הגרירה $\ A\to B$ , שפירושו "אם A אז B" מקבל ערך "שקר" אך ורק כאשר A אמת ואילו B הוא שקר. למשל, הטענה "אם אתמול היה יום שני אז היום יום רביעי" היא שקר אך ורק אם טענה A: "אתמול היה יום שני" היא אמת, אך טענה B, "היום יום רביעי" היא שקר. אם נאמר את הטענה ביום חמישי, למשל, היא תהיה נכונה, שכן אתמול לא היה יום שני.

אם כן, טענה מתקיימת באופן ריק אם היא מנוסחת בצורה $\ A\to B$ אך A אינו מתקיים. מבחינה מתמטית אין בכך כל דופי, אך הדבר עלול להיראות כעומד בסתירה לשכל הישר ולאינטואיציה.

דרך נוספת ושקולה לראות טענה המתקיימת "באופן ריק" היא על ידי כך שחושבים עליה כעל טענה שמתקיימת רק עבור קבוצה ריקה של עצמים. למשל, הטענה "כל הנחשים ההולכים על שתיים הם שקרנים ואין לסמוך עליהם" מתקיימת באופן ריק, שכן אין נחשים בעלי רגליים.

[עריכה] היפוכי ניסוח

לעיתים קרובות נדרש לבצע היפוך ניסוח לטענה, למשל כאשר רוצים להפריך אותה (להוכיח שאינה נכונה). לסטודנט הלא מנוסה עשוייה להיות לעיתים קרובות בעייה בהיפוך נכון של טענות, דבר שנראה קל. הכללים הבאים חייבים להישמר על מנת להפוך טענה בצורה נכונה:

יש להחליף בין המילים "לכל" ו"קיים" (ולהפך). לדוגמא: "לכל מספר טבעי n מתקיים..." יהפוך ל: "קיים מספר טבעי n כך שלא מתקיים...".
יש להחליף בין המילים "וגם" ו"או" (ולהפך).

הפרק הקודם:
המושגים היסודיים בלימוד המתמטיקה

ניסוחים במתמטיקה והסבר להם

הפרק הבא:
מבוא לקבוצות

מבוא למתמטיקה אוניברסיטאית/ניסוחים במתמטיקה והסבר להם

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] מילים וביטויים שימושיים

[עריכה] לכל

[עריכה] קיים

[עריכה] בפרט

[עריכה] רק עבור

[עריכה] פרט ל-

[עריכה] וגם

[עריכה] או

[עריכה] יהי

[עריכה] אִם, אם ורק אִם

[עריכה] באופן ריק

[עריכה] היפוכי ניסוח

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא