אנליזה נומרית/אינטרפולציה: הפרשים סופיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

אינטרפולציה היא מציאת קירוב לערך הפונקציה בין שתי נקודות נתונות. מעתה והלאה נניח, כמו מקודם, כי המרחקים על ציר x בין כל שתי נקודות סמוכות הוא h. לכן כל נקודה ניתן לייצוג על ידי $\ x_i+\theta h$ , כאשר $\ 0\le \theta\le 1$ .

תוכן עניינים

1 אינטרפולציה באמצעות הפרשים קידמיים
- 1.1 קירוב לינארי
- 1.2 קירוב ריבועי
2 אינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים
- 2.1 קירוב לינארי
- 2.2 קירוב ריבועי
3 אינטרפולציה באמצעות הפרשים מרכזיים

[עריכה] אינטרפולציה באמצעות הפרשים קידמיים

נשתמש באופרטורים אשר פיתחנו קודם על מנת לייצג נקודות שאין לנו מידע עבורן. ניעזר בקשר $\ E=1+\Delta$ ובמקרה הפרטי של בינום ניוטון:

$\ f(x+\theta h)=E^\theta f(x)=(1+\Delta)^\theta f(x)= \left[ 1+\theta\Delta+ {\theta(\theta-1)\over 2!}\Delta^2+ {\theta(\theta-1)(\theta-2)\over 3!}\Delta^3+... \right]f(x)$

קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.

[עריכה] קירוב לינארי

$\ f(x+\theta h)\approx [1+\theta\Delta]f(x)= f(x)+\theta[f(x+h)-f(x)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.

[עריכה] קירוב ריבועי

$\ f(x+\theta h)\approx \left[ 1+\theta\Delta+{\theta(\theta-1)\over 2!}\Delta^2 \right] f(x)= f(x)+\theta[f(x+h)-f(x)]+ {\theta(\theta-1)\over 2!}[f(x+2h)- 2f(x+h)+f(x)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של פרבולה.

נשים לב כי עבור θ=0,1 נקבל חזרה את ערכי הפונקציה המקוריים. כללית: ע"י k נקודות ידועות נוכל לבנות שיטה מסדר k אשר תתן תוצאות מדויקות באותן נקודות ידועות, אך מכיוון שאנו מאלצים על פולינום מדרגה גבוהה לעבור דרך נקודות נתונות, הדיוק עלול להינזק.

הערכת השגיאה: נמצא קשר בין אופרטור הפרשים קדמיים לאופרטור הגזירה על מנת לבטא את השגיאה:

$\ Df(x_i)=f'(x_i)= \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}= \frac{\Delta}{h}f(x_i) \quad\Rightarrow\ f'''(x_i)= \left(\frac{\Delta}{h}\right)^3 f(x_i)$

השארית מיוצגת ע"י האיבר הראשון בטור שהזנחנו, ולכן על ידי העבר אגפים פשוטה בקשר שקיבלנו ושימוש במשפט לגראנז' נותנים:

$\ R= \left( {\theta(\theta-1)(\theta-2)\over 3!}\Delta^3 \right) f(x_i) \approx \frac{h^3 \theta(\theta-1)(\theta-2)}{3!}f'''(c)$

באופן דומה ניתן לפתח נוסחאות לאינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים והפרשים מרכזיים.

[עריכה] אינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים

ניעזר בקשר $\ E=(1+\nabla)^{-1}$ ובמקרה הפרטי של בינום ניוטון:

$\ f(x+\theta h)=E^\theta f(x)=(1-\nabla)^{-\theta} f(x)= \left[ 1+\theta\nabla+ {\theta(\theta+1)\over 2!}\nabla^2+ {\theta(\theta+1)(\theta+2)\over 3!}\nabla^3+... \right]f(x)$

קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.

[עריכה] קירוב לינארי

$\ f(x+\theta h)\approx [1+\theta\nabla]f(x)= f(x)+\theta[f(x)-f(x-h)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.

[עריכה] קירוב ריבועי

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

[עריכה] אינטרפולציה באמצעות הפרשים מרכזיים

(להשלים)

הפרק הקודם:
אופרטורים של הפרשים סופיים

אינטרפולציה: הפרשים סופיים

הפרק הבא:
אינטרפולציה: מינימום ריבועים

אנליזה נומרית/אינטרפולציה: הפרשים סופיים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] אינטרפולציה באמצעות הפרשים קידמיים

[עריכה] קירוב לינארי

[עריכה] קירוב ריבועי

[עריכה] אינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים

[עריכה] קירוב לינארי

[עריכה] קירוב ריבועי

[עריכה] אינטרפולציה באמצעות הפרשים מרכזיים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא