אלגברה לינארית/מרחבים וקטוריים

הגדרה

מרחב וקטורי, הוא מבנה אלגברי, המכיל קבוצה V, שדה $\mathbb {F}$, פעולה בינארית $+_{V}$ על V, ופונקציה $*_{\mathbb {F} V}:\mathbb {F} \times V\rightarrow V$ (בדרך כלל $*_{\mathbb {F} V}(a,b)$ יסומן $a*_{\mathbb {F} V}b$), כך שמתקיים:

• חילוף: $\forall a,b\in V:a+_{V}b=b+_{V}a$
• קיבוץ: $\forall a,b,c\in V:a+_{V}(b+_{V}c)=(a+_{V}b)+_{V}c$
• קיים $0_{V}\in V$, המקיים:
  • נייטרליות מימין: $\forall a\in V:a+_{V}0_{V}=a$
  • קיום נגדי מימין: $\forall a\in V,\exists b\in V:a+_{V}b=0_{V}$
• נייטרליות לכפל בסקלר: $\forall a\in V:1_{\mathbb {F} }*_{\mathbb {F} V}a=a$
• קיבוץ הכפל בסקלר: $\forall a\in V,\alpha ,\beta \in \mathbb {F} :(\alpha \beta )*_{\mathbb {F} V}a=\alpha *_{\mathbb {F} V}(\beta *_{\mathbb {F} V}a)$
• פילוג משמאל: $\forall a\in V,\alpha ,\beta \in \mathbb {F} :(\alpha +\beta )*_{\mathbb {F} V}a=(\alpha *_{\mathbb {F} V}a)+_{V}(\beta *_{\mathbb {F} V}a)$
• פילוג מימין: $\forall a,b\in V,\alpha \in \mathbb {F} :\alpha *_{\mathbb {F} V}(a+_{V}b)=(\alpha *_{\mathbb {F} V}a)+_{V}\alpha *_{\mathbb {F} V}b)$

אם כל התנאים שלעיל מתקיימים, אומרים ש-V הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {F}$, ביחס לפעולות $+_{V}$, $*_{\mathbb {F} V}$

סימונים: איברי V ייקראו "וקטורים", ואיברי $\mathbb {F}$ ייקראו "סקלרים". בדרך כלל, וקטורים יסומנו באותיות אנגליות, וסקלרים באותיות יווניות.

הפעולה $+_{V}$ תיקרא "חיבור וקטורים", והפעולה $*_{\mathbb {F} V}$ תיקרא "כפל בסקלר".

בדרך כלל, לא נכתוב $*_{\mathbb {F} V}$, אלא $\cdot$, או שנשמיט את הסימן הזה לגמרי, ובמקום $+_{V}$ נכתוב +, כאשר ההבחנה בין $*_{\mathbb {F} V}$ ובין $*_{\mathbb {F} }$, וההבחנה בין $+_{V}$ ובין $+_{\mathbb {F} }$ תתבצענה לפי האיברים שהפעולה מקבלת.

הנייטרלי מימין לחיבור, $0_{V}$, שנראה בהמשך שהוא יחיד, יסומן לפעמים ${\vec {0}}$, ולפעמים סתם 0, כאשר ההבחנה בינו ובין $0_{\mathbb {F} }$, תהיה ע"פ הפעולות שמקבלות אותו. (לפעמים יש מקרים בהם אי-אפשר להבחין, ואז עדיף לסמן)

בגלל תכונות הקיבוץ, אם יש רק חיבור וקטורים, או רק כפל וכפל בסקלר, נשמיט את הסוגריים.

אם יש גם חיבור וקטורים וגם כפל בסקלר, ואין סוגריים, הכוונה לבצע קודם את הכפל בסקלר, ואחר-כך, את חיבור הווקטורים.

תכונות

• יחידות הנייטרלי: אם $a,b\in V$ שניהם נייטרליים מימין לחיבור וקטורים, אזי a=b.
  • הוכחה: $a=a+b=b+a=b$
• נייטרליות משמאל: $\forall a\in V:{\vec {0}}+a=a$
  • הוכחה: ${\vec {0}}+a=a+{\vec {0}}=a$
• יחידות הנגדי: יהי $a\in V$, ויהיו c,b נגדיים מימין ל-a. אזי b=c
  • הוכחה: $b=b+{\vec {0}}=b+a+c=a+b+c={\vec {0}}+c=c$

סימון: יהיו $a,b\in V$, הנגדי מימין ל-a (שהוכח לעיל שהוא יחיד). יסומן ב-$-a$, ו-$b+-a$ יסומן ב-$b-a$

• נגדיות משמאל: יהי $a\in V$, אזי $-a+a={\vec {0}}$
  • הוכחה: $-a+a=a+-a={\vec {0}}$
• סימטריות הנגדי: לכל$a\in V$, $-(-a)=a$
  • הוכחה: ע"פ הנגדיות משמאל, $-a+a={\vec {0}}$, לכן, ע"פ הגדרת הנגדי, $-(-a)=a$
• איפוס הכפל באפס: יהי $a\in V,\alpha \in \mathbb {F}$, אזי $\alpha {\vec {0}}=0a={\vec {0}}$. הוכחה:
  • $0a=0a+{\vec {0}}=0a+(0a+-(0a))=(0+0)a+-(0a)=0a+-(0a)={\vec {0}}$
  • $\alpha {\vec {0}}=\alpha {\vec {0}}+{\vec {0}}=\alpha {\vec {0}}+\alpha {\vec {0}}+-(\alpha {\vec {0}})=\alpha ({\vec {0}}+{\vec {0}})+-(\alpha {\vec {0}})=\alpha {\vec {0}}+-(\alpha {\vec {0}})={\vec {0}}$
• שימור הנגדי ע"י הכפל בסקלר: יהיו $a\in V,\alpha \in \mathbb {F}$, אזי $(-\alpha )a=\alpha (-a)=-(\alpha a)$. הוכחה:
  • $\alpha a+(-\alpha )a=(\alpha +-\alpha )a=0a={\vec {0}}$, לכן, לפי הגדרת הנגדי, $-(\alpha a)=(-\alpha )a$
  • $\alpha a+\alpha (-a)=\alpha (a+-a)=\alpha {\vec {0}}={\vec {0}}$, לכן, לפי הגדרת הנגדי, $-(\alpha a)=\alpha (-a)$
• אין מחלקי אפס: לכל $\alpha \in \mathbb {F} ,a\in V$, אם $\alpha a={\vec {0}}$, אז $\alpha =0$ או $a={\vec {0}}$
  • הוכחה: נניח $\alpha \neq 0,\alpha a={\vec {0}}$, אזי $a=1a=\alpha ^{-1}\alpha a=\alpha ^{-1}{\vec {0}}={\vec {0}}$

דוגמאות

• $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]^{2}=\{(a,b)|a,b\in \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]$, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הבאה: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),\alpha (a,b)=(\alpha a,\alpha b)$
• באופן כללי, לכל שדה $\mathbb {F}$ וטבעי n, $\mathbb {F} ^{n}=\{(a_{1},a_{2},...,a_{n})|\forall i:a_{i}\in \mathbb {F} \}$ הוא מרחב וקטורי מעל $\mathbb {F}$, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הבאה:

$(a_{1},...,a_{n})+(b_{1},...,b_{n})=(a_{1}+b_{1},...,a_{n}+b_{n}),\alpha (a_{1},...,a_{n})=(\alpha a_{1},...,\alpha a_{n})$

בסיסים

הערה: בכל הסעיף שלהלן, V הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {F}$

צירופים ליניארים

יהיו $a_{1},a_{2},...,a_{n}\in V$. צירוף ליניארי של $a_{1},...,a_{n}$, הוא ביטוי מהצורה $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}a_{i}$, כאשר לכל i, $\alpha _{i}\in \mathbb {F}$

לדוגמא, ב-$\mathbb {R} ^{3}$, $(1,5,7)$ הוא צירוף ליניארי של $(3,1,1),(1,-2,-3)$, כי $(1,5,7)=1(3,1,1)+-2(1,-2,-3)$

צירוף ליניארי $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}a_{i}$ ייקרא טריוויאלי, אם לכל i, $\alpha _{i}=0$

תהי $A\subseteq V$, הנפרש של A, יוגדר להיות אוסף כל הצירופים הליניאריים של מספר סופי של איברים ב-A, והוא יסומן $\operatorname {span} (A)$

קבוצות פורשות

תהי $A\subseteq V$. A תיקרא קבוצה פורשת של V, אם ורק אם $\operatorname {span} (A)=V$, כלומר, לכל $x\in V$, קיימים וקטורים $u_{1},...,u_{n}\in A$ וסקלרים $\alpha _{1},...\alpha _{n}\in \mathbb {F}$, המקיימים $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}=x$.

אם קיימת ל-V קבוצה פורשת סופית, אזי V נקרא מרחב וקטורי נוצר סופית. בספר זה נעסוק רק במרחבים וקטוריים נוצרים סופית.

איך מוכיחים שקבוצה פורשת מרחב?

תלות ליניארית

תהי $A\subseteq V$. A תיקרא תלויה ליניארית, אם קיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי של איברים ב-A, השווה ל-${\vec {0}}$.

A תיקרא בלתי תלויה ליניארית (בת"ל), אם לכל $u_{1},...,u_{n}\in A$ שונים, ולכל $\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in \mathbb {F}$, $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}={\vec {0}}\Rightarrow \forall i:\alpha _{i}=0$

תנאים שקולים לתלות ליניארית

משפט: תהי $A=\{u_{1},u_{2},...,u_{n}\}\subseteq V$ קבוצה סופית וסדורה. התנאים הבאים שקולים:

1. A תלויה ליניארית
2. קיים ב-A איבר שהוא צירוף ליניארי של קודמיו
3. קיים ב-A איבר שהוא צירוף ליניארי של האיברים האחרים ב-A

הוכחה: נוכיח $1\Rightarrow 2\Rightarrow 3\Rightarrow 1$:

$1\Rightarrow 2$: יהי $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}={\vec {0}}$ צירוף ליניארי לא טריוויאלי של A, ויהי j המקסימלי המקיים $\alpha _{j}\neq 0$. נקבל:

${\vec {0}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{n}=\sum _{i=1}^{j-1}\alpha _{i}u_{i}+\alpha _{j}u_{j}\Rightarrow u_{j}=\sum _{i=1}^{j-1}(-\alpha _{j}^{-1}\alpha _{i}u_{i})$

$2\Rightarrow 3$: טריוויאלי.

$3\Rightarrow 1$ קיימים j ו-$\alpha _{1},...,\alpha _{j-1},\alpha _{j+1},...,\alpha _{n}$ המקיימים $u_{j}=\sum _{i=1}^{j-1}\alpha _{i}u_{i}+\sum _{i=j+1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$.

נסמן $\alpha _{j}=-1$, ונקבל ${\vec {0}}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}$, וזה צירוף לא טריוויאלי, כי $\alpha _{j}\neq 0$

משפט ההחלפה של שטייניץ

משפט: תהי $A\subseteq V$ בת"ל, תהי B קבוצה פורשת סופית ל-V, ויהי $u\in A$, אזי קיים $v\in (B-(A-\{u\}))$, כך ש-$(A-\{u\})\cup \{v\}$ בת"ל

הוכחה: נסדר את איברי A כך ש-u יהיה האחרון. נסמן $A=\{w_{1},...,w_{m},u\},B=\{v_{1},...,v_{n}\}$ מכיוון ש-B פורשת, קיימים מקדמים כך ש-$u=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}v_{i}$.

אם כל איברי B הם צירופים ליניארים של איברי $A-\{u\}$, נקבל שלכל i, קיימים מקדמים כך ש-$v_{i}=\sum _{j=1}^{m}\alpha _{ij}w_{j}$ ולכן, $u=\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}\alpha _{ij})\beta _{i}w_{j}$

בסתירה לכך ש-A בת"ל. לכן קיים $v\in B$ שאינו צ"ל של $A-\{u\}$. לכן, ברור ש-$v\not \in A-\{u\}$, כלומר, $v\in (B-(A-\{u\}))$

בגלל ש-A בת"ל, כל אחד מאיברי $A-\{u\}$ אינו צ"ל של קודמיו.

בגלל ש-v אינו צ"ל של $A-\{u\}$, כל אחד מאיברי $B-(A-\{u\})$ אינו צ"ל של קודמיו, ולכן $B-(A-\{u\})$ בת"ל.

הקשר בין הגדלים

משפט: תהיינה $A\subseteq V$ בת"ל ו-$B\subseteq V$ פורשת סופית. אזי $\#B\geq \#A$ (# מסמן את מספר האיברים)

הוכחה: נסמן את $\#B$ ב-n. נניח בשלילה שקיימת $C=\{u_{1},...,u_{n+1}\}\subseteq A$, אזי C בת"ל. לפי משפט ההחלפה (אם נפעיל אותו על כל איברי C), נקבל שקיימת $D=\{w_{1},...,w_{n+1}\}\subseteq B$ בת"ל, כאשר לכל $i\neq j$, $w_{i}\neq w_{j}$ (כי כל איבר שונה מקודמיו)

אבל לא קיימים n+1 איברים ב-B, ולכן, לא קיימת $D\subseteq B$ כך ש-$\#D=n+1$, בסתירה.

בסיס

תהי $A\subseteq V$. A תיקרא בסיס של V, אם ורק אם היא בת"ל, ופורשת את V.

גודל הבסיס

משפט: יהיו A,B בסיסים ל-V, אזי $\#A=\#B$.

הוכחה: תהי C פורשת סופית ל-V, אזי $\#A,\#B\leq \#C$, ולכן A,B סופיות

A פורשת סופית ו-B בת"ל, לכן $\#B\geq \#A$, באופן דומה, $\#A\geq \#B$. לכן, $\#A=\#B$

מימד

יהי A בסיס של V. המימיד של V יוגדר להיות: $\operatorname {dim} (V)=\#A$, להגדרה זו יש משמעות, כי לכל הבסיסים של V אותו גודל.

משפטים

השלישי חינם

משפט: תהי $A\subseteq V$, ו-$n=\operatorname {dim} V$ כל 2 מהתנאים הבאים גוררים את השלישי:

1. $\#A=n$

2. A פורשת את V

3. A בת"ל

הוכחה: $1,2\Rightarrow 3$: נסמן $A=\{u_{1},...,u_{n}\}$. נניח בשלילה שקיימים סקלרים כך ש-$\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}u_{i}=u_{n}$ (אפשר לשנות את סדר האיברים) אזי כל צ"ל $\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}u_{i}$, הוא גם צ"ל $\sum _{i=1}^{n-1}(\beta _{i}+\beta _{n}\alpha _{i})u_{i}$, ולכן, גם $A'\{u_{1},...,n_{n-1}\}$ פורשת. יהי B בסיס ל-V. לכן, $\#B=n$, נקבל $\#A'=n-1<n=\#B$, אבל $A'>$ פורשת ו-B בת"ל, בסתירה. לכן, A בת"ל.

$1,3\Rightarrow 2$: נניח בשלילה ש-A אינה פורשת. אזי קיים $w\in V$ שאינו צ"ל של A. לכן, $C=A\cup \{w\}$ בת"ל. יהי B בסיס ל-V. נקבל $\#B=n<n+1=\#C$, אבל ש-C בת"ל ו-B פורשת, בסתירה. לכן, A פורשת.

$2,3\Rightarrow 1$: A בסיס לפי ההגדרה, ולכן, $\#A=\operatorname {dim} V=n$. מש"ל

השלמה לבסיס

משפט: כל קבוצה פורשת מכילה בסיס, וכל קבוצה בת"ל מוכלת בבסיס. (בשני המקרים, הכוונה שקיים בסיס כזה)

הוכחה:

חלק א': יהי $n=\operatorname {dim} V$. ניקח איבר $u_{1}\in A$, ונמשיך עבור כל $1<m\leq n$, כך:

• $B_{m-1}=\{u_{1},...,u_{m-1}\}$ בת"ל (נבדוק זאת בסוף כל שלב.
• מכיוון ש-$B_{m-1}$ בת"ל, אך מספר איבריה אינו n, היא אינה פורשת (אחרת, הייתה בסיס)
• לכן, קיים $v\in V$ שאינו צ"ל של $B_{m-1}$, אבל כן צ"ל של A (כי A פורשת)
• לכן, קיים צ"ל $v=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}z_{i}$ של איברי A, שאינו ניתן להצגה כצ"ל של $B_{m-1}$
• אם לכל $w\in A$ קיימים סקלרים כך ש-$\sum _{i=1}^{m-1}\beta _{i,w}u_{i}=w$, אז נקבל $v=\sum _{i=1}^{m-1}(\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}\beta _{i,z_{j}})u_{i}$, בסתירה.
• לכן, קיים $w\in A$ שאינו צ"ל של $B_{m-1}$. נסמנו ב-$u_{m}$
• מכיוון שבקבוצה ת"ל, קיים איבר הניתן להצגה כצ"ל של קודמיו, $B_{m}=\{u_{1},...,u_{m}\}$ בת"ל.

נמשיך כך עד $B_{n}$. $B_{n}$ בת"ל, ו-$\#B_{n}=n$, ולכן, $B_{n}\subseteq A$ בסיס.

חלק ב': נסמן $m=\#A,n=\operatorname {dim} V$. אם n=m, סיימנו. אחרת, $m<n$. נסמן $A=\{u_{1},...,u_{n}\}$ עבור כל $m<k\leq n$, נבצע את התהליך הבא:

• $B_{i-1}=\{u_{1},...,u_{i-1}\}$ אינה פורשת (נבדוק בסוף כל שלב), כלומר, קיים $u_{i}\in V$ שאינו צ"ל של $B_{i-1}$
• מכיוון שבקבוצה ת"ל קיים איבר שהוא צ"ל של קודמיו, $B_{i}=\{u_{1},...,u_{i}\}$ בת"ל
• אם $i<n$, נקבל $\#B_{i}=i<n$, ולכן $B_{i}$ אינה פורשת.

קיבלנו בסוף, $B_{i}\supseteq A$ בת"ל, ו-$\#B_{i}=n$, ולכן, $B_{i}$ בסיס.

הצגה לפי בסיס

יחידות ההצגה

משפט: תהי $A\subseteq V$. A בסיס ל-V אמ"מ לכל $u\in V$ יש הצגה יחידה כצ"ל של A.

הוכחה: אם: בגלל שלכל $u\in V$ יש הצגה כצ"ל של A, A פורשת את V. נוכיח שהיא בת"ל: נניח בשלילה ש-A ת"ל. אזי קיימים סקלרים שלפחות אחד מהם שונה מאפס, כך ש-($\sum _{i=0}^{m}\alpha _{i}ai$ ($a_{i}\in A$. אבל אז, נקבל: $\sum _{i=1}^{m}0a_{i}={\vec {0}}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}a_{i}$, בסתירה לכך שההצגה יחידה. לכן, A בסיס.

רק אם: A בסיס, ולכן פורשת. לכן, לכל $u\in V$ יש הצגה כצ"ל של A. נניח בשלילה שההצגה לא בהכרח יחידה, כלומר, קיימים סקלרים המקיימים: $\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}a_{i}=\sum _{i=1}^{m}\beta _{i}a_{i},\exists j:\alpha _{j}\neq \beta _{j}$

נקבל: $\sum _{i=1}^{m}(\beta _{i}-\alpha _{i})a_{i}={\vec {0}},(\beta _{j}-\alpha _{j})\neq {\vec {0}}$, בסתירה לכך ש-A בת"ל. לכן, ההצגה יחידה.

ההצגה

יהי $B=\{b_{1},...,b_{n}\}$ בסיס סדור ל-V, ויהי $u\in V$. תהי $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}b_{i}$ ההצגה היחידה של u כצ"ל של B.

ההצגה של u לפי B תוגדר להיות: $\left[u\right]_{B}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}$ (כלומר, וקטור עמודה)

פעולות

נגדיר חיבור וקטורי עמודה, וכפל בסקלר, בדרך הטריוויאלית - איבר איבר.

יהי $B=\{b_{1},...,b_{n}\}$ בסיס סדור ל-V, ויהיו $u,v\in V,\alpha \in \mathbb {F}$. אזי $\left[u+v\right]_{B}=\left[u\right]_{B}+\left[v\right]_{B},\left[\alpha u\right]_{B}=\alpha \left[u\right]_{B}$.

הוכחה: נציג את u,v כצ"ל של B: $u=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i},v=\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}b_{i}$, נקבל:

• $\left[u+v\right]_{b}=\left[\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}b_{i}\right]_{B}=\left[\sum _{i=1}^{n}(\beta _{i}+\gamma _{i})b_{i}\right]_{B}={\begin{pmatrix}\beta _{1}+\gamma _{1}\\\vdots \\\beta _{n}+\gamma _{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\gamma _{1}\\\vdots \\\gamma _{n}\end{pmatrix}}=\left[\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}\right]_{B}+\left[\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}b_{i}\right]_{B}=\left[u\right]_{B}+\left[v\right]_{B}$
• $\left[\alpha u\right]_{B}=\left[\alpha \sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}\right]_{B}=\left[\sum _{i=1}^{n}\alpha \beta _{i}b_{i}\right]_{B}={\begin{pmatrix}\alpha \beta _{1}\\\vdots \\\alpha \beta _{n}\end{pmatrix}}=\alpha {\begin{pmatrix}\beta _{1}\\\vdots \beta _{n}\end{pmatrix}}=\alpha \left[\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}b_{i}\right]_{B}=\alpha \left[u\right]_{B}$

תתי מרחב

יהי V מ"ו מעל $\mathbb {F}$, ויהי $U\subseteq V$. אם U מ"ו מעל $\mathbb {F}$ ביחס לפעולות של V, אז אומרים כי U תת-מרחב של V.

קריטריון מקוצר

יהי $U\subseteq V$. U הוא תת-מרחב של V אם ורק אם אתקיימים התנאים הבאים:

• $U\neq \emptyset$
• $\forall u,v\in U,\alpha \in \mathbb {F} :(u+\alpha v)\in U$

הוכחה: אם U תת-שדה, התכונה הראשונה מתקיימת כי ${\vec {0}}\in U$ והשנייה בגלל הסגירות. נוכיח את הכיוון השני:

תכונות החילוף, הפילוג, הקיבוץ והנייטרליות לכפל בסקלר נובעות במישרין מקיומן ב-V. נוכיח ${\vec {0}}\in U$ ,קיום נגדי, וסגירות לחיבור ולכפל בסקלר: יהי $a\in U$ (קיים כזה, כי $U\neq \emptyset$). ניקח $u=v=a,\alpha =-1$, ונקבל ${\vec {0}}=a+(-a)=u+\alpha v\in U$. אם ניקח $u={\vec {0}},v=a,\alpha =-1$, נקבל $-a=u+\alpha v\in U$. יהיו $a,b\in U,\beta \in \mathbb {F}$. אם ניקח $u=a,v=b,\alpha =1$, נקבל $a+b\in U$, ואם ניקח $u={\vec {0}},\alpha =\beta ,v=a$, נקבל $\beta a\in U$ לכן, U מ"ו מעל $\mathbb {F}$, והוא תת-מרחב של V.

חיתוך

יהיו U,W תתי מרחב של V, אזי גם $U\cap W$ תת מרחב של V. הוכחה: נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:

• ${\vec {0}}\in U,W\Rightarrow {\vec {0}}\in U\cap W\Rightarrow U\cap W\neq \emptyset$
• $\forall u,v\in U\cap W,\alpha \in \mathbb {F} :u,v\in U,W\Rightarrow (u+\alpha v)\in U,W\Rightarrow (u+\alpha v)\in U\cap W$

סכום

יהיו U,W תתי מרחב של V, אזי גם $U+W=\{u+w\|u\in U,w\in W\}$ תת מרחב של V. הוכחה: נבדוק ע"פ הקריטריון המקוצר:

• ${\vec {0}}\in U,W\Rightarrow {\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {0}}\in U+W\Rightarrow U+W\neq \emptyset$
• $\forall u,v\in U+W,\alpha \in \mathbb {F} ,\exists u_{1},u_{2}\in U,w_{1},w_{2}\in W:u_{1}+w_{1}=u,u_{2}+w_{2}=v\Rightarrow (u_{1}+\alpha u_{2})\in U,(w_{1}+\alpha w_{2})\in W\Rightarrow u+\alpha v=(u_{1}+w_{1})+\alpha (u_{2}+w_{2})=(u_{1}+\alpha u_{2})+(w_{1}+\alpha w_{2})\in U+W$

משפט: $U+W$ הוא תת המרחב המינימלי (מבחינת הכלה) של V המכיל את U ואת V.

הוכחה: יהי $A\supseteq U,W$ תת מרחב של V, ויהי $x\in U+W$. אזי קיימים $u\in U,w\in W,$ כך ש-$x=u+w$. מכיוון ש-$A\supseteq U,W$, נקבל $u,w\in A$ (ע"פ הגדרת הכלה), ובגלל הסגירות לחיבור, נקבל $x=u+w\in A$.

לכן, ע"פ הגדרת הכלה, $A\supseteq (U+W)$

משפט המימדים

משפט: יהיו U,W תתי מרחב של V, מעל שדה $\mathbb {F}$. אזי $\operatorname {dim} U+\operatorname {dim} W-\operatorname {dim} (U\cap W)=\operatorname {dim} (U+W)$

הוכחה: נסמן: $n=\operatorname {dim} U,m=\operatorname {dim} W,k=\operatorname {dim} (U\cap W)$.

יהי $A=\{a_{1},...,a_{k}\}$ בסיס ל-$U\cap W$. אזי A בת"ל. מכיוון שכל בת"ל מוכלת בבסיס, קיימות קבוצות $B=\{b_{k+1},...,b_{n}\},C=\{c_{k+1},...,c_{m}\}$ כך ש-$A\cup B$ בסיס ל-U, ו-$A\cup C$ בסיס ל-W.

יהי $x\in (U+W)$. אזי קיימים $u\in U,w\in W$ כך ש-$x=u+w$. בגלל שבסיס הוא קבוצה פורשת, קיימים סקלרים כך ש-$u=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}\beta _{i}b_{i},w=\sum _{i=1}^{k}\gamma _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{m}\delta _{i}c_{i}$

נקבל $x=\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+\gamma _{i})a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{i=k+1}^{m}\delta _{i}c_{i}$, כלומר, x הוא צ"ל של $A\cup B\cup C$. לכן, $A\cup B\cup C$ פורשת את $U+W$

נניח בשלילה שיש סקלרים, לא כולם אפס כך ש-$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}\beta _{i}b_{i}+\sum _{i=k+1}^{m}\gamma _{i}c_{i}={\vec {0}}$. נסמן $w=-\sum _{i=k+1}^{m}\gamma _{i}c_{i}$. אזי $w\in W$

אבל נקבל: $w=(\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}\beta _{i}b_{i})\in U$. לכן, $w\in (U\cap W)$, וקיימים סקלרים כך ש-$w=\sum _{i=1}^{k}\delta _{i}a_{i}+\sum _{i=k+1}^{n}0b_{i}$

בגלל יחידות ההצגה לפי בסיס, נקבל $\forall i:\beta _{i}=0$. באופן דומה, נקבל $\forall i:\gamma _{i}=0$

נקבל: $\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}a_{i}={\vec {0}}$, ומכך ש-A בת"ל, נקבל $\forall i:\alpha _{i}=0$.

קיבלנו, שכל המקדמים $\alpha ,\beta ,\gamma$ מתאפסים, ולכן, $A\cup B\cup C$ בת"ל

לכן, $A\cup B\cup C$ בסיס ל-$U+W$, ובגלל ש-$\#(A\cup B\cup C)=n+m-k$, נקבל $\operatorname {dim} (U+W)=n+m-k$

לכן, $\operatorname {dim} U+\operatorname {dim} W-\operatorname {dim} (U\cap W)=\operatorname {dim} (U+W)$