לדלג לתוכן

תורת הקבוצות/עוצמות/תרגילים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

אינסופיות של קבוצה[עריכה]

הוכיחו כי קבוצת המספרים השלמים אינסופית.

פתרון

, לכן אינסופית.

סדר בין עוצמות[עריכה]

תת קבוצה[עריכה]

הוכיחו כי .

פתרון

חח"ע.

מספר טבעי קטן מאינסוף[עריכה]

הוכיחו כי לכל אינסופית ולכל טבעי, .

פתרון

תהי . מכיוון שA אינסופית, היא אינה ריקה, ויהי . לכל k טבעי, הוא איבר כלשהו ב . מתקיים , ו, לכן . , כי אינסופית, לכן .

הוא האינסוף הקטן ביותר[עריכה]

הוכיחו כי לכל אינסופית, .

פתרון

לכל קבוצה אינסופית יש תת קבוצה שעוצמתה , לכן .

אריתמטיקה של עוצמות[עריכה]

[עריכה]

הוכיחו כי .

פתרון

על פי השאלה הבאה, .


איזוטוניות של חזקה[עריכה]

הוכיחו:

  1. .
  2. .
פתרון

בשני הסעיפים תהי חח"ע, כאשר .

  1. נגדיר כך: . מכיוון שh חח"ע, היא מצטמצמת משמאל, לכן הפונקציה חח"ע.
  2. יהי . נגדיר כך: היא הפונקציה המוגדרת , כאשר מוגדרת . ברור ש חח"ע.