תורת הקבוצות/עוצמות/תרגילים
מראה
< תורת הקבוצות | עוצמות
אינסופיות של קבוצה
[עריכה]הוכיחו כי קבוצת המספרים השלמים אינסופית.
פתרון
, לכן אינסופית.
סדר בין עוצמות
[עריכה]תת קבוצה
[עריכה]הוכיחו כי .
פתרון
חח"ע.
מספר טבעי קטן מאינסוף
[עריכה]הוכיחו כי לכל אינסופית ולכל טבעי, .
פתרון
תהי . מכיוון שA אינסופית, היא אינה ריקה, ויהי . לכל k טבעי, הוא איבר כלשהו ב . מתקיים , ו, לכן . , כי אינסופית, לכן .
הוא האינסוף הקטן ביותר
[עריכה]הוכיחו כי לכל אינסופית, .
פתרון
לכל קבוצה אינסופית יש תת קבוצה שעוצמתה , לכן .
אריתמטיקה של עוצמות
[עריכה][עריכה]
הוכיחו כי .
פתרון
על פי השאלה הבאה, .
איזוטוניות של חזקה
[עריכה]הוכיחו:
- .
- .
פתרון
בשני הסעיפים תהי חח"ע, כאשר .
- נגדיר כך: . מכיוון שh חח"ע, היא מצטמצמת משמאל, לכן הפונקציה חח"ע.
- יהי . נגדיר כך: היא הפונקציה המוגדרת , כאשר מוגדרת . ברור ש חח"ע.