תורת הבקרה/פונקצית התמסורת

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
General open loop system.svg

פונקצית התמסורת (Transfer Function) היא פונקציה המקשרת בין אות יציאה C לאות כניסה R במצב של תנאי התחלה אפס. הצורה הכללית של פונקצית תמסורת היא:

והיא שימושית במעגלים לינארים וקבועים בזמן (LTI).

פיתוח מתמטי[עריכה]

Blue think.svg במערכת פיזיקלית n≥ m

משיקולי הרגל, נסמן בסעיף זה את הכניסה והיציאה ב-x,y.

נניח כי המד"ר המתקיימת בין אות כניסה לאות יציאה הוא:

כאשר x הוא אות הכניסה ו-y הוא אות היציאה ותנאי ההתחלה הם אפס. במעבר למישור לפלס נקבל[1]:

ואז פונקצית התמסורת:

מסקנות[עריכה]

  • פונקצית התמסורת אינה תלויה באות הכניסה או באות היציאה אלא תלויה במערכת בלבד.
  • מחשבים את פונקצית התמסורת עבור תנאי התחלה אפס (במקרה זה אין איברים הנובעים מת"ה בהתמרת הלפלס).
  • אות היציאה שווה לפונקצית התמסורת כאשר הכניסה היא פונקצית הלם.

הגדרות[עריכה]

  • ההגבר החופשי K של מערכת בעלת פונקצית תמסורת G כתלות בתדר ω נתון על ידי:
  • הפאזה φ של מערכת בעלת פונקצית תמסורת G כתלות בתדר ω נתונה על ידי:
  • מקובלים השמות:
    • proper כאשר n≥m
    • strictly proper כאשר n>m
    • biproper כאשר n=m

מערכות לינארית[עריכה]

הגדרת הלינאריות[עריכה]

פונקציה נקראת לינארית אם ורק אם מתקיימים התנאים:

  1. אדיטיביות:
  2. הומוגניות:

דוגמאות[עריכה]

  • הפונקציה אינה לינארית[2] עקב האיבר החופשי b.

משפט הסופרפוזיציה[עריכה]

נניח כי מפעילים על מערכת אותות כניסה כלשהם, לסרוגין. משפט הסופרפוזיציה קובע כי תגובת המערכת לכל האותות האלו יחד שווה לסכום תגובת המערכת לכל אות בנפרד:

תופעות מעבר ומצב מתמיד[עריכה]

פתרון של מד"ר המייצגת מערכת דינמית, מורכב מפתרון הומוגני ומפתרון פרטי: .

  • הפתרון ההומוגני תלוי אך ורק במערכת, ומייצג את תופעות המעבר.
  • מקדמי הפתרון ההומוגני תלויים בתנאי התחלה.
  • הפתרון הפרטי ומקדמיו תלויים במערכת ובאות הכניסה, אך לא תלויים בתנאי ההתחלה.
  • הפתרון הפרטי מייצג את התנהגות המערכת במצב המתמיד[3], כאשר תופעות המעבר דועכות.
  • אם אות הכניסה הוא סינוסי אז במצב מתמיד אות היציאה גם הוא יהיה סינוסי ובאותו התדר (זו למעשה תכונה של מערכת לינארית), אך ההגבר החופשי והפאזה יכולים להיות שונים.

תגובת אמפליטודה ותגובת תדר[עריכה]

General open loop system.svg

עבור מערכת דינמית לינארית ויציבה, כאשר נכניס אות כניסה מהצורה נקבל אות יציאה מהצורה כאשר:

  • תגובת האמפליטודה (Magnitude Response) מוגדרת: והיא היחס בין אמפליטודת היציאה לאמפליטודת הכניסה.
  • תגובת הפאזה (Phase Response) מוגדרת: והיא ההפרש בפאזה בין אות היציאה לאות הכניסה.
  • תגובת התדר (Frequency Response) מוגדרת:

כלומר במערכת דינמית לינארית, כניסה מחזורית נותנת יציאה מחזורית עם שינוי פאזה ושינוי אמפליטודה ללא שינוי בתדר.

מטלאב[עריכה]

ניקח לשם דוגמה את פונקצית התמסורת הבאה:

דרך א[עריכה]

num=[1 1];
den=conv(conv([1 2],[1 3]),[1 0]);
G=tf(num,den);

כאשר הפונקציה conv "פותחת סוגריים" של פולינום הנתון בצורת מערך, אשר איברים מסודרים כמקדמי הפולינום מהחזקה הגבוהה ועד הנמוכה.

דרך ב[עריכה]

s=tf('s');
G=(s+1)/s/(s+2)/(s+3);

מערכות משוב[עריכה]

מערכת עם משוב כללי H והגבר חפשי K בחוג.

כדאי לדעת:

לא ניתן להזיז את אפסי המערכת באמצעות משוב או שינוי הגבר החוג. לכל היותר נוספים אפסים קבועים חדשים.

(להשלים)

טרמינולוגיה[עריכה]

  • החוג הקדמי הוא המכפלה KG.
  • חוג המשוב הוא הפונקציה H.
  • תמסורת החוג הפתוח היא המכפלה KGH.
  • תמסורת החוג הסגור היא המנה .

דוגמאות[עריכה]

מד תאוצה[עריכה]

Acceleration meter.svg

נניח:

  • - תזוזת הקופסה.
  • - תזוזת המסה (m) ביחס לקופסה.

אם כן, אנו מעוניינים בתאוצה , אשר מהווה את תאוצת המערכת אליה מחוברת הקופסה.

המד"ר המתארת את המערכת:

נבצע התמרת לפלס כדי לעבור למישור התדר:

ולכן פונקצית התמסורת בין תזוזת הקופסה לתאוצת המסה היא:


כדאי לדעת:

הגודל המדיד בבעיה הוא תזוזת הקופסה והגודל המעניין אותנו הוא תאוצת המערכת ולכן פונקצית התמסורת נראית כנ"ל. באותה מידה, יכולנו לכתוב את פונקצית התמסורת בין תזוזת הקופסה לתזוזת המערכת:

הערות[עריכה]

  1. ^ המעבר שלהלן הוא אפשרי מכיוון שתנאי ההתחלה הם אפס. אחרת, בהתאם לכללי ההתמרה היינו צריכים להתחשב גם בהם ואז היה נשאר איבר חופשי ולא היה אפשר לקבל מנת פולינומים.
  2. ^ אין לבלבל את מושג הלינאריות המוצג כאן עם המושג "פונקציה לינארית". פונקציה לינארית היא כזו ששיפועה קבוע, ואילו כאן יש דרישות אחרות.
  3. ^ הפתרון הפרטי הוא הפתרון במצב המתמיד רק כאשר המערכת אינה מתבדרת.