תורת הבקרה/פונקצית הלם

פונקצית הלם

פונקצית מדרגה

פונקצית ההלם (או: פונקצית הדלתא של דיראק) היא הנגזרת של פונקצית המדרגה והיא שווה לאפס פרט לנקודה יחידה t₀. תאורטית, ערך הפונקציה הוא אינסוף, והשטח מתחת לגרף הוא 1. מעשית, לא ניתן לקבל פונקצית הלם (כפי שלא ניתן לקבל שינוי מיידי כדוגמת פונקצית המדרגה).

$\ \delta (t-t_{0})=\lim _{\Delta t\to 0}{\begin{cases}{1 \over \Delta t},&t_{0}<t<t_{0}+\Delta t\\0,&{\mbox{else}}\end{cases}}$

תכונות

• $\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (t-t_{0})dt=1$
• $\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (t-t_{0})dt=f(t_{0})$
• $\ {\mathcal {L}}[\delta (t-t_{0})](s)=\int \limits _{t=0}^{\infty }\delta (t-t_{0})e^{-st}dt=e^{-st_{0}}\quad \Rightarrow \quad {\mathcal {L}}[\delta (t)]=1$