תורת הבקרה/מקדמי שגיאה סטטיים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרת השגיאה[עריכה]

מערכת משוב
מערכת משוב יחידה

שגיאת המצב המתמיד (steady-state error) או שגיאת העקיבה מוגדרת בתור: . שימו לב כי במקרה הכללי, אין שגיאה זו שווה לשגיאה מיד אחר נקודת הסכימה. רק במשוב יחידה שתי השגיאות שוות.

פיתוח מתמטי[עריכה]

לשם קבלת הביטויים נסמן את האות היוצא מנקודת הסכימה בתור a. מתקבל[1]:

הצבת ביטוי זה בהגדרה לשגיאה נותנת:

ועבור H=1 אכן מתקבל E=a:

דרך אחרת[עריכה]

אם בהגדרת השגיאה נוציא את R מחוץ לסוגריים, נקבל:

כלומר על מנת למצוא את השגיאה יש לחשב את פונקצית התמסורת הכוללת של המערכת, שאותה תמיד ניתן למצוא. אחרי שקיבלנו את הביטוי המתאים, נשאר לכפול אותו באות הכניסה כדי לקבל את השגיאה.

מאלגברת בלוקים ידוע כי:

ובהצבת ביטוי זה לביטוי הקודם מתקבלת בדיוק אותה תוצאה כמו מקודם.

מקדמי השגיאה הסטטיים[עריכה]

מערכת משוב יחידה

נעסוק בשגיאות המצב המתמיד של מערכות מסוג שונה כתגובה לכניסות שונות. מקדמי השגיאה הסטטיים מוגדרים עבור מערכת משוב-יחידה. נסמן ב-k את סוג המערכת.

ניזכר כי שגיאת המצב המתמיד במערכת משוב-יחידה היא מהצורה . לכן על פי משפט הערך הסופי[2], עבור כניסה מהצורה נקבל:

שימו לב כי מציבים באות הכניסה k+1 על מנת שלאחר הצמצום עם ה-s הנובע ממשפט הערך הסופי, נישאר עם k אשר מייצג את סדר המערכת.

כניסת מדרגה (step)[עריכה]

Blue think.svg סוג המערכת נקבע לפי !

כניסת מדרגה: .

  • למערכת מסוג k=0 מתקיים:
(למערכת מסוג k=0, שגיאה במצב המתמיד היא קבועה רק כאשר ל- יש ערך סופי, כלומר אין קוטב בראשית).
  • שגיאת המצב המתמיד של מערכת מסוג k=0, בעת כניסת מדרגה, ניתנת להפחתה על ידי הגדלת Ks.
  • אם בעת תכנון הבקר ידוע שאין לחרוג משגיאה מותרת כלשהי, התנאי על Ks יהיה: .
  • עבור מערכת מסוג k>0 מתקיים ולכן השגיאה במצב המתמיד . כלומר במערכת מסדר k>0, כניסת מדרגה לעולם לא תתן שגיאה במצב המתמיד.

דוגמאות[עריכה]

  • עבור מתקבל
  • עבור מתקבל

כניסת ריצה (ramp)[עריכה]

כניסת ריצה: .

  • למערכת מסוג k=0 מתקיים ולכן שגיאת המצב המתמיד לכניסת ריצה היא אינסוף.
  • למערכת מסוג k=1 מתקיים: .
  • עבור מערכת מסוג מסוג k>1 השגיאה במצב המתמיד:

כניסת תאוצה (acceleration)[עריכה]

כניסת תאוצה: . בדומה,

  • עבור מערכת מסוג k<2 מתקבל:
  • עבור מערת מסוג k=2 מתקבל:
  • עבור מערכת מסוג k>2 מתקבל:

סיכום[עריכה]

סוג Ka Kr Ks
0 0 0 Ks
1 0 0 Kr
2 0 0 Ka
3 0 0 0

הערות[עריכה]

  1. ^ אנו מניחים כי המידע על האות a מגיע מיד לכל חלקי המערכת, כלומר מזניחים את הזמן אשר לוקח להפרעה להתפשט ב"מרחב".
  2. ^ משפט הערך הסופי תקף אך ורק כאשר קטבי פונקצית התמסורת של כל המערכת הינם ב-OLHP ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית.