תורת הבקרה/מקדמי שגיאה סטטיים

הגדרת השגיאה

מערכת משוב

מערכת משוב יחידה

שגיאת המצב המתמיד (steady-state error) או שגיאת העקיבה מוגדרת בתור: $\ E(s)=R(s)-C(s)$. שימו לב כי במקרה הכללי, אין שגיאה זו שווה לשגיאה מיד אחר נקודת הסכימה. רק במשוב יחידה שתי השגיאות שוות.

פיתוח מתמטי

לשם קבלת הביטויים נסמן את האות היוצא מנקודת הסכימה בתור a. מתקבל:

$\ a=R-CH=R-aGH\ \Rightarrow \ a={R \over {1+GH}}\ \Rightarrow \ C={RG \over 1+GH}$

הצבת ביטוי זה בהגדרה לשגיאה נותנת:

$\ E=R\left(1-{G \over 1+GH}\right)$

ועבור H=1 אכן מתקבל E=a:

$\ {\bar {E}}={R \over 1+{\bar {G}}}$

דרך אחרת

אם בהגדרת השגיאה נוציא את R מחוץ לסוגריים, נקבל:

$\ E=R\left(1-{C \over R}\right)$

כלומר על מנת למצוא את השגיאה יש לחשב את פונקצית התמסורת הכוללת של המערכת, שאותה תמיד ניתן למצוא. אחרי שקיבלנו את הביטוי המתאים, נשאר לכפול אותו באות הכניסה כדי לקבל את השגיאה.

מאלגברת בלוקים ידוע כי:

$\ {C \over R}={G \over 1+GH}$

ובהצבת ביטוי זה לביטוי הקודם מתקבלת בדיוק אותה תוצאה כמו מקודם.

מקדמי השגיאה הסטטיים

מערכת משוב יחידה

נעסוק בשגיאות המצב המתמיד של מערכות מסוג שונה כתגובה לכניסות שונות. מקדמי השגיאה הסטטיים מוגדרים עבור מערכת משוב-יחידה. נסמן ב-k את סוג המערכת.

ניזכר כי שגיאת המצב המתמיד במערכת משוב-יחידה היא מהצורה $\ {\bar {E}}={R \over 1+{\bar {G}}}$. לכן על פי משפט הערך הסופי, עבור כניסה מהצורה $\ R(s)={R_{0} \over s^{k+1}}$ נקבל:

$\ e_{ss}=\lim _{s\to 0}s{\bar {E}}(s)=\lim _{s\to 0}{sR(s) \over 1+{\bar {G}}(s)}=\lim _{s\to 0}{R_{0} \over s^{k}(1+{\bar {G}}(s))}\overbrace {=} ^{k>0}{R_{0} \over \lim \limits _{s\to 0}s^{k}{\bar {G}}(s)}$

שימו לב כי מציבים באות הכניסה k+1 על מנת שלאחר הצמצום עם ה-s הנובע ממשפט הערך הסופי, נישאר עם k אשר מייצג את סדר המערכת.

כניסת מדרגה (step)

סוג המערכת נקבע לפי $\ {\bar {G}}$!

כניסת מדרגה: $\ (k=0)\quad R(t)=R_{0}u(t)\ \Rightarrow \ R(s)={R_{0} \over s}$.

• למערכת מסוג k=0 מתקיים: $\ K_{s}\equiv \lim _{s\to 0}{\bar {G}}(s)=const\ \Rightarrow \ e_{ss}^{s}={R_{0} \over 1+K_{s}}$

(למערכת מסוג k=0, שגיאה במצב המתמיד היא קבועה רק כאשר ל-$\ {\bar {G}}$ יש ערך סופי, כלומר אין קוטב בראשית).

• שגיאת המצב המתמיד של מערכת מסוג k=0, בעת כניסת מדרגה, ניתנת להפחתה על ידי הגדלת K_s.
• אם בעת תכנון הבקר $\ {\bar {G}}$ ידוע שאין לחרוג משגיאה מותרת $\ e_{ss}$ כלשהי, התנאי על K_s יהיה: $\ K_{s}={R_{0}-e_{ss} \over e_{ss}}$.
• עבור מערכת מסוג k>0 מתקיים $\ K_{s}=\lim _{s\to 0}{\bar {G}}(s)\to \infty$ ולכן השגיאה במצב המתמיד $\ e_{ss}^{s}=0$. כלומר במערכת מסדר k>0, כניסת מדרגה לעולם לא תתן שגיאה במצב המתמיד.

דוגמאות

• עבור $\ {\bar {G}}(s)={3 \over 1+s}$ מתקבל $\ K_{s}=3$
• עבור $\ {\bar {G}}(s)={s+2 \over (s+3)(s+4)}$ מתקבל $\ K_{s}={1 \over 6}$

כניסת ריצה (ramp)

כניסת ריצה: $\ (k=1)\quad R(t)=R_{0}tu(t)\ \Rightarrow \ R(s)={R_{0} \over s^{2}}$.

• למערכת מסוג k=0 מתקיים $\ \lim _{s\to 0}s{\bar {G}}(s)=0$ ולכן שגיאת המצב המתמיד לכניסת ריצה היא אינסוף.
• למערכת מסוג k=1 מתקיים: $\ K_{r}\equiv \lim _{s\to 0}s{\bar {G}}(s)=const\ \Rightarrow \ e_{ss}^{r}={R_{0} \over K_{r}}$.
• עבור מערכת מסוג מסוג k>1 השגיאה במצב המתמיד: $\ \lim _{s\to 0}s{\bar {G}}(s)=\infty \ \Rightarrow \ e_{ss}^{r}=0$

כניסת תאוצה (acceleration)

כניסת תאוצה: $\ (k=2)\quad R(t)={R_{0} \over 2}t^{2}u(t)\ \Rightarrow \ R(s)={R_{0} \over s^{3}}$. בדומה,

• עבור מערכת מסוג k<2 מתקבל: $\ \lim _{s\to 0}s^{2}{\bar {G}}(s)=0\ \Rightarrow \ e_{ss}^{a}=\infty$
• עבור מערת מסוג k=2 מתקבל: $\ K_{a}\equiv \lim _{s\to 0}s^{2}{\bar {G}}(s)=const\ \Rightarrow \ e_{ss}^{a}={R_{0} \over K_{a}}$
• עבור מערכת מסוג k>2 מתקבל: $\ \lim _{s\to 0}s^{2}{\bar {G}}(s)=\infty \ \Rightarrow \ e_{ss}^{a}=0$

סיכום

$\ K_{s}\equiv K_{0}=\lim _{s\to 0}{\bar {G}}(s)$

$\ K_{r}\equiv K_{1}=\lim _{s\to 0}s{\bar {G}}(s)$

$\ K_{a}\equiv K_{2}=\lim _{s\to 0}s^{2}{\bar {G}}(s)$

סוג	$\ e_{ss}^{a}$	$\ e_{ss}^{r}$	$\ e_{ss}^{s}$	Ka	Kr	Ks
0	$\ \infty$	$\ \infty$	$\ R_{0} \over 1+K_{s}$	0	0	Ks
1	$\ \infty$	$\ R_{0} \over K_{r}$	0	0	Kr	$\ \infty$
2	$\ R_{0} \over K_{a}$	0	0	Ka	$\ \infty$	$\ \infty$
3	0	0	0	$\ \infty$	$\ \infty$	$\ \infty$