תורת הבקרה/מקדמי שגיאה סטטיים

הגדרת השגיאה

מערכת משוב

מערכת משוב יחידה

שגיאת המצב המתמיד (steady-state error) או שגיאת העקיבה מוגדרת בתור: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ E(s)=R(s)-C(s)} . שימו לב כי במקרה הכללי, אין שגיאה זו שווה לשגיאה מיד אחר נקודת הסכימה. רק במשוב יחידה שתי השגיאות שוות.

פיתוח מתמטי

לשם קבלת הביטויים נסמן את האות היוצא מנקודת הסכימה בתור a. מתקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ a=R-CH=R-aGH\ \Rightarrow\ a={R \over {1+GH}}\ \Rightarrow\ C={RG \over 1+GH}}

הצבת ביטוי זה בהגדרה לשגיאה נותנת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ E=R \left(1-{G \over 1+GH} \right)}

ועבור H=1 אכן מתקבל E=a:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \bar{E}={R \over 1+\bar{G}}}

דרך אחרת

אם בהגדרת השגיאה נוציא את R מחוץ לסוגריים, נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ E=R \left(1-{C\over R} \right)}

כלומר על מנת למצוא את השגיאה יש לחשב את פונקצית התמסורת הכוללת של המערכת, שאותה תמיד ניתן למצוא. אחרי שקיבלנו את הביטוי המתאים, נשאר לכפול אותו באות הכניסה כדי לקבל את השגיאה.

מאלגברת בלוקים ידוע כי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ {C\over R}= {G \over 1+GH}}

ובהצבת ביטוי זה לביטוי הקודם מתקבלת בדיוק אותה תוצאה כמו מקודם.

מקדמי השגיאה הסטטיים

מערכת משוב יחידה

נעסוק בשגיאות המצב המתמיד של מערכות מסוג שונה כתגובה לכניסות שונות. מקדמי השגיאה הסטטיים מוגדרים עבור מערכת משוב-יחידה. נסמן ב-k את סוג המערכת.

ניזכר כי שגיאת המצב המתמיד במערכת משוב-יחידה היא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \bar{E}={R \over 1+\bar{G}}} . לכן על פי משפט הערך הסופי, עבור כניסה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ R(s)= {R_0 \over s^{k+1}}} נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ e_{ss}= \lim_{s\to 0} s\bar{E}(s)= \lim_{s\to 0} {sR(s)\over 1+\bar{G}(s)} =\lim_{s\to 0} {R_0 \over s^k(1+\bar{G}(s))} \overbrace{=}^{k>0} {R_0\over \lim\limits_{s\to 0} s^k\bar{G}(s)}}

שימו לב כי מציבים באות הכניסה k+1 על מנת שלאחר הצמצום עם ה-s הנובע ממשפט הערך הסופי, נישאר עם k אשר מייצג את סדר המערכת.

כניסת מדרגה (step)

סוג המערכת נקבע לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \bar{G}} !

כניסת מדרגה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ (k=0)\quad R(t)=R_0u(t)\ \Rightarrow\ R(s)={R_0 \over s}} .

• למערכת מסוג k=0 מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_s\equiv\lim_{s\to 0} \bar{G}(s)=const\ \Rightarrow\ e_{ss}^s= {R_0 \over 1+K_s}}

(למערכת מסוג k=0, שגיאה במצב המתמיד היא קבועה רק כאשר ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \bar{G}} יש ערך סופי, כלומר אין קוטב בראשית).

• שגיאת המצב המתמיד של מערכת מסוג k=0, בעת כניסת מדרגה, ניתנת להפחתה על ידי הגדלת K_s.
• אם בעת תכנון הבקר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \bar{G}} ידוע שאין לחרוג משגיאה מותרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ e_{ss}} כלשהי, התנאי על K_s יהיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_s={R_0-e_{ss}\over e_{ss}}} .
• עבור מערכת מסוג k>0 מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_s=\lim_{s\to 0} \bar{G}(s) \to\infty} ולכן השגיאה במצב המתמיד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ e_{ss}^s=0} . כלומר במערכת מסדר k>0, כניסת מדרגה לעולם לא תתן שגיאה במצב המתמיד.

דוגמאות

• עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \bar{G}(s)= {3\over 1+s}} מתקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_s=3}
• עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \bar{G}(s)={s+2\over (s+3)(s+4)}} מתקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_s={1\over 6}}

כניסת ריצה (ramp)

כניסת ריצה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ (k=1)\quad R(t)=R_0tu(t)\ \Rightarrow\ R(s)={R_0 \over s^2}} .

• למערכת מסוג k=0 מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \lim_{s\to 0} s\bar{G}(s)=0} ולכן שגיאת המצב המתמיד לכניסת ריצה היא אינסוף.
• למערכת מסוג k=1 מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_r\equiv\lim_{s\to 0} s\bar{G}(s)=const\ \Rightarrow\ e_{ss}^r= {R_0 \over K_r}} .
• עבור מערכת מסוג מסוג k>1 השגיאה במצב המתמיד: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \lim_{s\to 0} s\bar{G}(s)=\infty\ \Rightarrow\ e_{ss}^r=0}

כניסת תאוצה (acceleration)

כניסת תאוצה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ (k=2)\quad R(t)={R_0\over 2}t^2u(t)\ \Rightarrow\ R(s)={R_0 \over s^3}} . בדומה,

• עבור מערכת מסוג k<2 מתקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \lim_{s\to 0} s^2\bar{G}(s)=0\ \Rightarrow\ e_{ss}^a=\infty}
• עבור מערת מסוג k=2 מתקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_a\equiv\lim_{s\to 0} s^2\bar{G}(s)=const\ \Rightarrow\ e_{ss}^a={R_0 \over K_a}}
• עבור מערכת מסוג k>2 מתקבל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \lim_{s\to 0} s^2\bar{G}(s)=\infty\ \Rightarrow\ e_{ss}^a=0}

סיכום

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_s\equiv K_0=\lim_{s\to 0} \bar{G}(s)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_r\equiv K_1=\lim_{s\to 0} s\bar{G}(s)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ K_a\equiv K_2=\lim_{s\to 0} s^2\bar{G}(s)}

סוג	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ e_{ss}^a}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ e_{ss}^r}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ e_{ss}^s}	Ka	Kr	Ks
0	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ R_0 \over 1+K_s}	0	0	Ks
1	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ R_0 \over K_r}	0	0	Kr	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}
2	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ R_0 \over K_a}	0	0	Ka	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}
3	0	0	0	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}	הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikibooks.org/v1/v1/":): {\displaystyle \ \infty}