שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/רציפות

הנושאים בפרק זה

הערות:

בחלק זה של הספר, הנושאים שצריכים להופיע הם לדעתי:

- הגדרת הרציפות

- אי-רציפות, סוגי אי-רציפות.

- רציפות מימין ומשמאל, בקטע פתוח וסגור.

- משפטי רציפות בסיסיים (אם f ו-g רציפות אז גם f+g רציפה וכו') עם הוכחות (אפשר להוכיח אחד או שניים ולהשאיר את שאר כתרגילים).

- כל פונקציה אלמנטרית רציפה בתחום הגדרתה.

- משפטי רציפות "מתקדמים" (למשל, משפט ערך הביניים) עם הוכחות ודוגמאות.

CommandoGuard 15:02, 12 באוקטובר 2006 (IST)

הסעיף האחרון שרשמת הוא רחב מאוד, ויכול להתחלק למספר פרקים. חוץ מזה יש לתת מספר דוגמאות חשובות לפונקציות רציפות ושאינן רציפות (פונ' דיריכלה למשל). גיל 15:32, 12 באוקטובר 2006 (IST)

וכמובן יש להוסיף פרק על רציפות במידה שווה, ולהוכיח את משפט קנטור. גיל 16:14, 13 באוקטובר 2006 (IST)

דוגמאות זה כמובן חשוב. פונקצית דיריכלה, פונקצית רימן, פונקצית הערך השלם (כדוגמה לאי-רציפות קפיצה) הן דוגמאות טובות לפרק זה, אבל זה רק מה שקופץ לי לראש כרגע ואפשר לחשוב על עוד. כמובן, רציפות במידה שווה ומשפט קנטור בהחלט מתאימים לפרק. בסעיף האחרון (משפטי רציפות "מתקדמים"), התכוונתי לדברים כמו משפט ערך הביניים וכל מיני משפטים קטנים ושימושיים (פונקציה רציפה והפיכה המוגדרת על קטע סגור היא מונוטונית ממש, משפט ויירשטראס הראשון עם הוכחה באמצעות משפט קנטור, וכו'). על משפט ערך הביניים אפשר וראוי להרחיב וכמובן להציג את ההוכחה (אני מכיר את ההוכחה עם החלוקה לקטעים ועם שימוש במשפט קנטור, אבל שמעתי שקיימות דרכים נוספות להוכיח). משפטים קטנים כמו הנ"ל אפשר להציג ולהשאיר את הוכחתם כתרגילים לקורא. את משפט ויירשטראס השני אולי כדאי לדחות עד לטיפול בנגזרות והצגת משפט רול (שהוכחתו משתמשת במשפט לעיל) כי זה נראה קצת תלוש לדבר בשלב הזה על מקס' ומינ' של פונקציה. אולי לא. עם זאת, אין לי מושג לאן לדחוף את בולצאנו-ויירשטראס. CommandoGuard 20:21, 13 באוקטובר 2006 (IST)