פיזיקה תיכונית/מכניקה/קינמטיקה/משוואות התנועה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

כדאי לעיין כאן לפני תחילת הקריאה.

להלן פיתוח מתמטי של משוואות התנועה כאשר התנועה היא תנועה שוות תאוצה.

משוואה ראשונה[עריכה]

גרף של תאוצה כפונקציה של הזמן, השטח שנוצר מתחת לגראף הינו מלבן. משמאל לגרף הינו פרמטר וכך גם מתחת לגראף.

השטח מתחת לגראף (שטח של מלבן: מכפלת הגובה ברוחב), בין ראשית הצירים ל- , הוא ושווה למכפלת התאוצה () בזמן (). כלומר:

כן ידוע ש- הנו הפרש המהירות בין נקודת המדידה () לבין תחילת התנועה (). כך ש:

נשווה:

נסדר קצת:

(א)

משוואות שניה ושלישית[עריכה]

שתי המשוואות מתבססות על שטח הכלוא מתחת לגראף הבא:

מהירות כפונקציה של זמן, השטח שנוצר מתחת לגרף הנו טרפז. היא המהירות בתחילת התנועה ו- הינו פרמטר.

נחשב את השטח הכלוא מתחת לגראף (שטח של טרפז: מחצית מכפלת סכום הבסיסים בגובה), בין ראשית הצירים ל- , הינו:

משוואה שניה[עריכה]

ידוע ש- הינו הפרש ההעתקים בין נקודת המדידה () לנקודת תחילת התנועה (). כלומר:

נציב:

נסדר:

נציב את משוואה א:

נסדר:

(ב)

משוואה זאת קושרת בין ההעתק והמהירות שהיו לגוף בתחילת תנועתו, תאוצתו של הגוף, הזמן שעבר מתחילת התנועה, וההעתק של הגוף מתחילת התנועה. העובדה שרוב הגדלים בה הם גדלים הנוגעים לתחילת תנועתו של הגוף (או לכל התנועה) הופכת משוואה זאת למשוואה שימושית במיוחד. בנוסף, ניתן להבחין כי המשוואה השניה היא למעשה אינטגרל של המשוואה הראשונה לפי זמן.

משוואה שלישית[עריכה]

נחזור למשוואה המתארת את העתק הגוף כשטח מתחת לגראף המהירות:

נציב במשוואה זאת את כפי שנובע מהמשוואה הראשונה:

נסדר:

(ג)

יחודה של משוואה זאת נובע מכך שאין היא כוללת בתוכה זמן, כך שהיא קושרת בין תאוצתו של גוף ושני מצבים שבהם הוא נמצא, בלי התייחסות לזמן שעבר ביניהם.

תנועה שוות מהירות[עריכה]

מקרה פרטי למשוואות התנועה הנ"ל הוא תנועה שוות מהירות, המשוואה נראית כך:

הפרק הקודם: משוואות התנועה הפרק הבא:
מושגים בסיסיים בקינמטיקה תרגילים נפילה חופשית וזריקה אופקית