תיאור כולל של חלקיק בעל ספין חצי
[עריכה]
מרחב ההילברט שאנו נמצאים ועובדים בו:
, כלומר מכפלה טנזורית בין המרחב הספיני לבין המרחב ה"חיצוני". לרוב,
, כלומר מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע ב-
.
יחסי קומוטציה (חילוף)
[עריכה]
חשוב לשים לב: אופרטוריים מרחביים ואופרטורי ספין מוגדרים במרחבי הילברט שונים, לכן מתחלפים.
- מוגדרים במרחבים שונים, כלומר:
.
- מתחלפים:
. חשוב לזכור, שהכתוב כאן הינו סימון בלבד, מכיוון שבלתי אפשרי לכפול, או להפעיל זה על זה, שני אופרטורים הפועלים במרחבים זרים!
צורת כתיבה מדויקת יותר תהיה:
.
מצורת הכתיבה המפורשת ניתן לראות גם מבחינה אלגברית מדוע האופרטורים מתחלפים.
הצגות של מצבים קוונטיים
[עריכה]
מצב קוונטי כללי
ייכתב באופן הבא:
וכרגיל, ניתן להציג אותו בצורות שונות בבסיסים השונים:
- הצגה מעורבת:
.
כאשר, כרגיל:
= ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח
סביב
בספין
,
ו-
= ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח
סביב
בספין
.
- פונקצית גל בעלת 2 מרכיבים:
.
- מצבים אטומיים: תזכורת: מצב אטומי כללי מתואר ע"י 3 מספרים קוונטיים
, כאשר
מתארים את התנ"ז האורביטלי ו-
מתאר את החלק הרדיאלי.
כעת, נוסיף לשלושת המספרים הללו מספר נוסף, המתאר את הספין: נסמנו ע"י
ולפעמים ע"י
. מאחר והמספרים הללו הם ע"ע (ערכים עצמיים) של אופרטורים הפועלים במרחבי הילברט שונים, המצב האטומי יתואר באופן מלא באמצעות:
, או בכתיב מקוצר:
.
מומנט מגנטי של ספין חצי
[עריכה]
תנ"ז אורביטלי
: כזכור, באופן קלאסי קיבלנו שקיים מומנט מגנטי
המקיים:
, כאשר הגדרנו:
. על מנת לתאר אותו בצורה קוונטית, נחשוב עליו כעל אופרטור:
.
ספין
: מאחר והאלגברה (ורק האלגברה!!!) של ספין
דומה לזו של תנ"ז אורביטלי, נצפה למצוא תיאור מתמטי או פיזיקלי דומה. נקרא לתיאור הזה בשם "המומנט המגנטי של הספין".
מספר כתמים בניסוי שטרן-גרלך
[עריכה]
בסיס לתנ"ז אורביטלי כללי נתון, כזכור, ע"י המ"ע (מצבים עצמיים) של
. למי שלא זוכר, נזכיר כי מדובר באופרטורים מתחלפים, לכן יש להם בסיס שבו ניתן לכתוב את שניהם כאופרטורים לכסינים. המספרים הקוונטיים המתאימים לאופרטורים האלה (=הע"ע, כלומר הערכים עצמיים של האופרטורים) הם:
לאופרטור
מתאים המספר הקוונטי:
.
לאופרטור
מתאים המספר הקוונטי:
, כאשר
- סה"כ
ערכי
אפשריים.
- עבור תנ"ז אורביטלי
, כלומר
. לכן,
שלם אי זוגי.
כמה כתמים נראה על המסך (בניסוי שטרן-גרלך) עבור חלקיקים שונים?
- המקרה הכי פשוט: חלקיק אלמנטרי בעל ספין
, למשל אלקטרון נקודתי - 2 כתמים. הפיצול, במקרה זה, ינבע אך ורק כתוצאה מנוכחות הספין.
עבור חלקיק בלי ספין (שזה משהו שקיים רק בתיאוריה) נקבל מספר אי זוגי של כתמים.
- המקרה המסובך: חלקיק שמורכב מכמה חלקיקים, למשל אטום: במקרה זה התנ"ז מורכב הן מחלק אורביטלי והן מחלק ספיני, לכן יכול להתקבל כל מספר שהוא של כתמים, זוגי או אי זוגי.
- אם מתקבל מספר זוגי של כתמים
ספין
מעורב בעניין.
- אם מתקבל מספר אי זוגי של כתמים
לא ניתן להסיק שום מסקנה...
פיצול Zeeman הבלתי רגיל
[עריכה]
אם נשים אטום בעל המילטוניאן
בשדה מגנטי הומוגני
, נקבל הפרעה להמילטוניאן מהצורה
.
כזכור, רמת האנרגיה באטום תלוייה רק ב-
. במילים אחרות, לכל מצב
(עבור
) קיים ניוון ב-
. כתוצאה מההפרעה, נקבל פיצול ברמת האנרגיה.
ההפרעה באנרגיה :
. נזכור: קיימים
ערכי
אפשריים, לכן נקבל
ערכי אנרגיה אפשריים:
. במילים אחרות, נקבל פיצול זימן ל-
קווים.
- עבור
(תנ"ז אורביטלי)
, לכן נקבל מספר אי זוגי של קווים.
- פיצול למספר זוגי של קוים יכול להתקבל כאשר אנו בונים רמות אנרגיה של חלקיק בודד, לא של גוף "מסובך" כמו אטום.
המומנט המגנטי של הספין עבור חלקיקים אלמנטריים
[עריכה]
- אנו מניחים, כרגע, שאין תנ"ז אורביטלי אלא תנ"ז ספיני בלבד.
- עבור פרוטון:
<br\>
- עבור פרוטון:
(ונזכור ש-
) <br\>
- המגנטון של בוהר:
- המגנטון הגרעיני (Nuclear Magneton):
עבור אלקטרון:
. אבל לא בדיוק...
ראשית, ברור שכל הנתונים הרשומים לעיל ידועים מתוצאות נסיוניות. אלא, שעבור אלקטרון ניתן גם להוכיח את ערכו של המקדם
.
נכתוב את המומנט המגנטי של האלקטרון:
, כאשר:
המקדם הגירו-מגנטי (כפי שקראינו בעבר),
ו-
. <\br>
- כשרק התחילו לפתח את התורה, הסיק פאולי, כתוצאה ממדידות שונות, ש-
(כלומר
). כמה שנים מאוחר יותר נתן דיראכ תיאור קוונטי למשוואת שרדינגר (שמוצג, באופן לא מפתיע, באמצעות משוואת דיראכ), באמצעותו ניתן להוכיח שאכן
. הסברה הרווחת היתה, שערכו של
נובע מהספין.
עם הזמן, משהפכו המדידות יותר ויותר מדויקות, התברר כי
אינו שווה ל-2 אלא קצת יותר.
התוצאות:
- משהו מעניין:
נובע מקיום פוטונים וירטואליים, או יותר נכון - מהאינטרקציה שיש בינם לבין הספין. ואיכשהו זה קשור לכך שקוונטיזציה של שדה א"מ גורמת לפליטת פוטונים. למעשה גילוי אותו מקדם
היה ההוכחה לקיומם של הפוטונים הוירטואלים.
תהודה מגנטית (1930 Rabi)
[עריכה]
- באופן כללי: עבור חלקיק בעל ספין
, הבדיקה הרפואית הידועה בשם MRI - ראשי תיבות של magnetic resonance imaging - מודדת לא פחות ולא יותר מאשר את המקדם
של המוח.
- נתון ספין
בשדה מגנטי
. המילטוניאן המע':
, כאשר מגדירים:
. ונגדיר גם: 
* נתון מצב פיזיקלי כללי כלשהו:
(וכמובן
). ונרצה למצוא את ההתפתחות בזמן של המצב הזה:
עבור מומנט בכיוון
לא תהיה כל התפתחות בזמן (כי זהו גם כיוון השדה המגנטי). באופן כללי, נקבל פרסציה:
. במילים אחרות,
היא תדירות הפרסציה של הגוף.
(...המשך בשיעור הבא...)