פיזיקה קוונטית 2 מחברת קורס/הרצאה מספר 2

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

תיאור כולל של חלקיק בעל ספין חצי[עריכה]

מרחב ההילברט שאנו נמצאים ועובדים בו: , כלומר מכפלה טנזורית בין המרחב הספיני לבין המרחב ה"חיצוני". לרוב, , כלומר מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע ב- .

יחסי קומוטציה (חילוף)[עריכה]

חשוב לשים לב: אופרטוריים מרחביים ואופרטורי ספין מוגדרים במרחבי הילברט שונים, לכן מתחלפים.

  • מוגדרים במרחבים שונים, כלומר:

.

  • מתחלפים: . חשוב לזכור, שהכתוב כאן הינו סימון בלבד, מכיוון שבלתי אפשרי לכפול, או להפעיל זה על זה, שני אופרטורים הפועלים במרחבים זרים!

צורת כתיבה מדויקת יותר תהיה: . מצורת הכתיבה המפורשת ניתן לראות גם מבחינה אלגברית מדוע האופרטורים מתחלפים.

הצגות של מצבים קוונטיים[עריכה]

מצב קוונטי כללי ייכתב באופן הבא:

וכרגיל, ניתן להציג אותו בצורות שונות בבסיסים השונים:

  • הצגה מעורבת: .

כאשר, כרגיל: = ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח סביב בספין , ו- = ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח סביב בספין .

  • פונקצית גל בעלת 2 מרכיבים: .
  • מצבים אטומיים: תזכורת: מצב אטומי כללי מתואר ע"י 3 מספרים קוונטיים , כאשר מתארים את התנ"ז האורביטלי ו- מתאר את החלק הרדיאלי.

כעת, נוסיף לשלושת המספרים הללו מספר נוסף, המתאר את הספין: נסמנו ע"י ולפעמים ע"י . מאחר והמספרים הללו הם ע"ע (ערכים עצמיים) של אופרטורים הפועלים במרחבי הילברט שונים, המצב האטומי יתואר באופן מלא באמצעות: , או בכתיב מקוצר: .

מומנט מגנטי של ספין חצי[עריכה]

תנ"ז אורביטלי : כזכור, באופן קלאסי קיבלנו שקיים מומנט מגנטי המקיים: , כאשר הגדרנו: . על מנת לתאר אותו בצורה קוונטית, נחשוב עליו כעל אופרטור: .
ספין : מאחר והאלגברה (ורק האלגברה!!!) של ספין דומה לזו של תנ"ז אורביטלי, נצפה למצוא תיאור מתמטי או פיזיקלי דומה. נקרא לתיאור הזה בשם "המומנט המגנטי של הספין".

מספר כתמים בניסוי שטרן-גרלך[עריכה]

בסיס לתנ"ז אורביטלי כללי נתון, כזכור, ע"י המ"ע (מצבים עצמיים) של . למי שלא זוכר, נזכיר כי מדובר באופרטורים מתחלפים, לכן יש להם בסיס שבו ניתן לכתוב את שניהם כאופרטורים לכסינים. המספרים הקוונטיים המתאימים לאופרטורים האלה (=הע"ע, כלומר הערכים עצמיים של האופרטורים) הם:
לאופרטור מתאים המספר הקוונטי: .
לאופרטור מתאים המספר הקוונטי: , כאשר - סה"כ ערכי אפשריים.

  • עבור תנ"ז אורביטלי , כלומר . לכן, שלם אי זוגי.

כמה כתמים נראה על המסך (בניסוי שטרן-גרלך) עבור חלקיקים שונים?

  • המקרה הכי פשוט: חלקיק אלמנטרי בעל ספין , למשל אלקטרון נקודתי - 2 כתמים. הפיצול, במקרה זה, ינבע אך ורק כתוצאה מנוכחות הספין.

עבור חלקיק בלי ספין (שזה משהו שקיים רק בתיאוריה) נקבל מספר אי זוגי של כתמים.

  • המקרה המסובך: חלקיק שמורכב מכמה חלקיקים, למשל אטום: במקרה זה התנ"ז מורכב הן מחלק אורביטלי והן מחלק ספיני, לכן יכול להתקבל כל מספר שהוא של כתמים, זוגי או אי זוגי.
    • אם מתקבל מספר זוגי של כתמים ספין מעורב בעניין.
    • אם מתקבל מספר אי זוגי של כתמים לא ניתן להסיק שום מסקנה...

פיצול Zeeman הבלתי רגיל[עריכה]

אם נשים אטום בעל המילטוניאן בשדה מגנטי הומוגני , נקבל הפרעה להמילטוניאן מהצורה .
כזכור, רמת האנרגיה באטום תלוייה רק ב- . במילים אחרות, לכל מצב (עבור ) קיים ניוון ב- . כתוצאה מההפרעה, נקבל פיצול ברמת האנרגיה.
ההפרעה באנרגיה : . נזכור: קיימים ערכי אפשריים, לכן נקבל ערכי אנרגיה אפשריים: . במילים אחרות, נקבל פיצול זימן ל- קווים. תיאור סכמטי ביותר של הפיצול

  • עבור (תנ"ז אורביטלי) , לכן נקבל מספר אי זוגי של קווים.
  • פיצול למספר זוגי של קוים יכול להתקבל כאשר אנו בונים רמות אנרגיה של חלקיק בודד, לא של גוף "מסובך" כמו אטום.

המומנט המגנטי של הספין עבור חלקיקים אלמנטריים[עריכה]

  • אנו מניחים, כרגע, שאין תנ"ז אורביטלי אלא תנ"ז ספיני בלבד.

- עבור פרוטון: <br\> - עבור פרוטון: (ונזכור ש- ) <br\> - המגנטון של בוהר:
- המגנטון הגרעיני (Nuclear Magneton):
עבור אלקטרון: . אבל לא בדיוק...
ראשית, ברור שכל הנתונים הרשומים לעיל ידועים מתוצאות נסיוניות. אלא, שעבור אלקטרון ניתן גם להוכיח את ערכו של המקדם .
נכתוב את המומנט המגנטי של האלקטרון: , כאשר: המקדם הגירו-מגנטי (כפי שקראינו בעבר), ו- . <\br>

  • כשרק התחילו לפתח את התורה, הסיק פאולי, כתוצאה ממדידות שונות, ש- (כלומר ). כמה שנים מאוחר יותר נתן דיראכ תיאור קוונטי למשוואת שרדינגר (שמוצג, באופן לא מפתיע, באמצעות משוואת דיראכ), באמצעותו ניתן להוכיח שאכן . הסברה הרווחת היתה, שערכו של נובע מהספין.

עם הזמן, משהפכו המדידות יותר ויותר מדויקות, התברר כי אינו שווה ל-2 אלא קצת יותר.
התוצאות:

  • משהו מעניין: נובע מקיום פוטונים וירטואליים, או יותר נכון - מהאינטרקציה שיש בינם לבין הספין. ואיכשהו זה קשור לכך שקוונטיזציה של שדה א"מ גורמת לפליטת פוטונים. למעשה גילוי אותו מקדם היה ההוכחה לקיומם של הפוטונים הוירטואלים.

תהודה מגנטית (1930 Rabi)[עריכה]

  • באופן כללי: עבור חלקיק בעל ספין , הבדיקה הרפואית הידועה בשם MRI - ראשי תיבות של magnetic resonance imaging - מודדת לא פחות ולא יותר מאשר את המקדם של המוח.
  • נתון ספין בשדה מגנטי . המילטוניאן המע': , כאשר מגדירים: . ונגדיר גם:


* נתון מצב פיזיקלי כללי כלשהו: (וכמובן ). ונרצה למצוא את ההתפתחות בזמן של המצב הזה:

עבור מומנט בכיוון לא תהיה כל התפתחות בזמן (כי זהו גם כיוון השדה המגנטי). באופן כללי, נקבל פרסציה: . במילים אחרות, היא תדירות הפרסציה של הגוף.

(...המשך בשיעור הבא...)

הפרק הקודם:
הרצאה מספר 1
עמוד ראשי:
פיזיקה קוונטית 2 - מחברת קורס
ההרצאה הבאה:
הרצאה מספר 3