תיאור כולל של חלקיק בעל ספין חצי

מרחב ההילברט שאנו נמצאים ועובדים בו: $\ E_{H}=E_{ext}\otimes E_{spin}$ , כלומר מכפלה טנזורית בין המרחב הספיני לבין המרחב ה"חיצוני". לרוב, $\ E_{ext}=l^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)$ , כלומר מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע ב- $\ \mathbb {R}$ .

יחסי קומוטציה (חילוף)

חשוב לשים לב: אופרטוריים מרחביים ואופרטורי ספין מוגדרים במרחבי הילברט שונים, לכן מתחלפים.

מוגדרים במרחבים שונים, כלומר:

$\ \left({\hat {A_{ext}}}\otimes {\hat {B_{spin}}}\right)\left(\left|\Psi _{\Sigma }\right\rangle \otimes \left|\Sigma \right\rangle \right)=\left({\hat {A_{ext}}}\left|\Psi _{\Sigma }\right\rangle \right)\otimes \left({\hat {B_{spin}}}\left|\Sigma \right\rangle \right)$ .

מתחלפים: $\ \left[{\hat {A_{ext}}},{\hat {B_{spin}}}\right]=o$ . חשוב לזכור, שהכתוב כאן הינו סימון בלבד, מכיוון שבלתי אפשרי לכפול, או להפעיל זה על זה, שני אופרטורים הפועלים במרחבים זרים!

צורת כתיבה מדויקת יותר תהיה: $\ \left[{\hat {A_{ext}}}\otimes {\hat {1_{spin}}},{\hat {1_{ext}}}\otimes {\hat {B_{spin}}}\right]=0$ . מצורת הכתיבה המפורשת ניתן לראות גם מבחינה אלגברית מדוע האופרטורים מתחלפים.

הצגות של מצבים קוונטיים

מצב קוונטי כללי $\ \left|\Psi \right\rangle \in E_{H}$ ייכתב באופן הבא: $\ \left|\Psi \right\rangle =\left|\Psi _{+}\right\rangle \otimes \left|+\right\rangle +\left|\Psi _{-}\right\rangle \otimes \left|-\right\rangle$

וכרגיל, ניתן להציג אותו בצורות שונות בבסיסים השונים:

הצגה מעורבת: $\ \Psi _{+}\left(r,t\right)\left|+\right\rangle +\Psi _{-}\left(r,t\right)\left|-\right\rangle \in E_{spin}$ .

כאשר, כרגיל: $\ \left|\Psi _{+}\left(r,t\right)\right|^{2}$ = ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח $\ d^{3}r$ סביב $\ {\vec {r}}$ בספין $\ +{\frac {\hbar }{2}}$ , ו- $\ \left|\Psi _{-}\left(r,t\right)\right|^{2}$ = ההסתברות למצוא את החלקיק בנפח $\ d^{3}r$ סביב $\ {\vec {r}}$ בספין $\ -{\frac {\hbar }{2}}$ .

פונקצית גל בעלת 2 מרכיבים: $\ \left({\begin{matrix}\Psi _{+}\left(r,t\right)\\\Psi _{-}\left(r,t\right)\end{matrix}}\right)$ .

מצבים אטומיים: תזכורת: מצב אטומי כללי מתואר ע"י 3 מספרים קוונטיים $\ \left|n,l,m\right\rangle$ , כאשר $\ l,m$ מתארים את התנ"ז האורביטלי ו- $\ n$ מתאר את החלק הרדיאלי.

כעת, נוסיף לשלושת המספרים הללו מספר נוסף, המתאר את הספין: נסמנו ע"י $\ \left|\sigma \right\rangle$ ולפעמים ע"י $\ \left|s\right\rangle$ . מאחר והמספרים הללו הם ע"ע (ערכים עצמיים) של אופרטורים הפועלים במרחבי הילברט שונים, המצב האטומי יתואר באופן מלא באמצעות: $\ \left|n,l,m\right\rangle \otimes \left|\sigma \right\rangle$ , או בכתיב מקוצר: $\ \left|n,l,m,\sigma \right\rangle$ .

מומנט מגנטי של ספין חצי

$\ \star$ תנ"ז אורביטלי $\ {\vec {L}}$ : כזכור, באופן קלאסי קיבלנו שקיים מומנט מגנטי $\ {\vec {\mu }}$ המקיים: $\ {\vec {\mu }}=\gamma _{0}{\vec {L}}$ , כאשר הגדרנו: $\ \gamma _{0}\equiv -{\frac {q}{2m}}$ . על מנת לתאר אותו בצורה קוונטית, נחשוב עליו כעל אופרטור: $\ {\hat {\vec {\mu }}}=\gamma _{0}{\hat {\vec {L}}}$ .
$\ \star$ ספין $\ {\frac {1}{2}}$ : מאחר והאלגברה (ורק האלגברה!!!) של ספין $\ {\frac {1}{2}}$ דומה לזו של תנ"ז אורביטלי, נצפה למצוא תיאור מתמטי או פיזיקלי דומה. נקרא לתיאור הזה בשם "המומנט המגנטי של הספין".

מספר כתמים בניסוי שטרן-גרלך

בסיס לתנ"ז אורביטלי כללי נתון, כזכור, ע"י המ"ע (מצבים עצמיים) של $\ \left\{{\hat {J^{2}}},{\hat {J_{z}}}\right\}$ . למי שלא זוכר, נזכיר כי מדובר באופרטורים מתחלפים, לכן יש להם בסיס שבו ניתן לכתוב את שניהם כאופרטורים לכסינים. המספרים הקוונטיים המתאימים לאופרטורים האלה (=הע"ע, כלומר הערכים עצמיים של האופרטורים) הם:
לאופרטור $\ {\hat {J^{2}}}$ מתאים המספר הקוונטי: $\ \hbar j\left(j+1\right)$ .
לאופרטור $\ {\hat {J_{z}}}$ מתאים המספר הקוונטי: $\ m$ , כאשר $\ -j\leq m\leq j$ - סה"כ $\ 2m+1$ ערכי $\ m$ אפשריים.

עבור תנ"ז אורביטלי $\ j=l$ , כלומר $\ j\in \mathbb {Z}$ . לכן, $\ \left(2j+1\right)$ שלם אי זוגי.

$\ ?$ כמה כתמים נראה על המסך (בניסוי שטרן-גרלך) עבור חלקיקים שונים?

המקרה הכי פשוט: חלקיק אלמנטרי בעל ספין $\ {\frac {1}{2}}$ , למשל אלקטרון נקודתי - 2 כתמים. הפיצול, במקרה זה, ינבע אך ורק כתוצאה מנוכחות הספין.

עבור חלקיק בלי ספין (שזה משהו שקיים רק בתיאוריה) נקבל מספר אי זוגי של כתמים.

המקרה המסובך: חלקיק שמורכב מכמה חלקיקים, למשל אטום: במקרה זה התנ"ז מורכב הן מחלק אורביטלי והן מחלק ספיני, לכן יכול להתקבל כל מספר שהוא של כתמים, זוגי או אי זוגי.
- אם מתקבל מספר זוגי של כתמים $\ \Leftarrow$ ספין $\ {\frac {1}{2}}$ מעורב בעניין.
- אם מתקבל מספר אי זוגי של כתמים $\ \Leftarrow$ לא ניתן להסיק שום מסקנה...

פיצול Zeeman הבלתי רגיל

אם נשים אטום בעל המילטוניאן $\ H_{0}$ בשדה מגנטי הומוגני $\ {\vec {B}}=B{\hat {z}}$ , נקבל הפרעה להמילטוניאן מהצורה $\ {\vec {W}}=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}$ .
כזכור, רמת האנרגיה באטום תלוייה רק ב- $\ n$ . במילים אחרות, לכל מצב $\ \left|n,l,m\right\rangle$ (עבור $\ n>1$ ) קיים ניוון ב- $\ m,l$ . כתוצאה מההפרעה, נקבל פיצול ברמת האנרגיה.
ההפרעה באנרגיה : $\ {\hat {\gamma }}=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}\underbrace {=} _{{\vec {B}}=B{\hat {z}}}-\mu _{z}B_{z}=-\hbar mB$ . נזכור: קיימים $\ 2j+1$ ערכי $\ m$ אפשריים, לכן נקבל $\ 2j+1$ ערכי אנרגיה אפשריים: $E_{n,m}=E_{n}-\hbar \gamma mB$ . במילים אחרות, נקבל פיצול זימן ל- $\ 2j+1$ קווים.

עבור $\ j=l$ (תנ"ז אורביטלי) $\ j\in \mathbb {Z}$ , לכן נקבל מספר אי זוגי של קווים.
פיצול למספר זוגי של קוים יכול להתקבל כאשר אנו בונים רמות אנרגיה של חלקיק בודד, לא של גוף "מסובך" כמו אטום.

המומנט המגנטי של הספין עבור חלקיקים אלמנטריים

אנו מניחים, כרגע, שאין תנ"ז אורביטלי אלא תנ"ז ספיני בלבד.

- עבור פרוטון: $\ \gamma \cong 2.79{\frac {q}{m_{p}}}$ <br\> - עבור פרוטון: $\ \gamma \cong 1.91{\frac {q_{e}}{m_{p}}}$ (ונזכור ש- $\ m_{p}\approx m_{n}$ ) <br\> - המגנטון של בוהר: $\ \mu _{b}=-{\frac {q\hbar }{2m_{e}}}=-9.274\times 10^{-24}\left[{\frac {J}{T}}\right]$
- המגנטון הגרעיני (Nuclear Magneton): $\ \mu _{N}\equiv {\frac {q\hbar }{2m_{p}}}=5.051\times 10^{-27}\left[{\frac {J}{T}}\right]$
$\ \leftarrow$ עבור אלקטרון: $\ \gamma \cong 2\omega _{0}=-{\frac {q}{m_{e}}}$ . אבל לא בדיוק...
ראשית, ברור שכל הנתונים הרשומים לעיל ידועים מתוצאות נסיוניות. אלא, שעבור אלקטרון ניתן גם להוכיח את ערכו של המקדם $\ \gamma$ .
נכתוב את המומנט המגנטי של האלקטרון: $\ {\hat {\vec {\mu }}}=g_{e}\left({\frac {q}{2m_{e}}}\right){\hat {\vec {S}}}$ , כאשר: $\ ={\frac {q}{2m_{e}}}=\gamma _{0}$ המקדם הגירו-מגנטי (כפי שקראינו בעבר), $\ ={\hat {\vec {S}}}$ ו- $\ g_{e}\equiv 2\left(1+a\right)$ . <\br>

כשרק התחילו לפתח את התורה, הסיק פאולי, כתוצאה ממדידות שונות, ש- $\ g_{e}=2$ (כלומר $\ a=0$ ). כמה שנים מאוחר יותר נתן דיראכ תיאור קוונטי למשוואת שרדינגר (שמוצג, באופן לא מפתיע, באמצעות משוואת דיראכ), באמצעותו ניתן להוכיח שאכן $\ g_{e}=2$ . הסברה הרווחת היתה, שערכו של $\ g_{e}$ נובע מהספין.

עם הזמן, משהפכו המדידות יותר ויותר מדויקות, התברר כי $\ g_{e}$ אינו שווה ל-2 אלא קצת יותר.
התוצאות:
$\ {\begin{matrix}a_{theory}=0.001159652200\pm 40\times 10^{-10}\\a_{exp}=0.001159652193\pm 10\times 10^{-10}\end{matrix}}$

משהו מעניין: $\ a$ נובע מקיום פוטונים וירטואליים, או יותר נכון - מהאינטרקציה שיש בינם לבין הספין. ואיכשהו זה קשור לכך שקוונטיזציה של שדה א"מ גורמת לפליטת פוטונים. למעשה גילוי אותו מקדם $\ a$ היה ההוכחה לקיומם של הפוטונים הוירטואלים.

תהודה מגנטית (1930 Rabi)

באופן כללי: עבור חלקיק בעל ספין $\ {\frac {1}{2}}$ , הבדיקה הרפואית הידועה בשם MRI - ראשי תיבות של magnetic resonance imaging - מודדת לא פחות ולא יותר מאשר את המקדם $\ \gamma$ של המוח.
נתון ספין $\ {\frac {1}{2}}$ בשדה מגנטי $\ {\vec {B_{0}}}=B_{0}{\hat {z}}$ . המילטוניאן המע': $\ {\hat {H}}=-{\hat {\vec {\mu _{0}}}}\cdot {\vec {B_{0}}}=-\mu _{0}B_{0}{\hat {\sigma _{z}}}$ , כאשר מגדירים: $\ \mu _{0}\equiv \gamma {\frac {\hbar }{2}}$ . ונגדיר גם: $\ \left(\gamma _{0}=-\gamma B_{0}\Leftrightarrow \right){\frac {\gamma 0}{2}}\equiv -{\frac {\mu _{0}B_{0}}{\hbar }}$

* נתון מצב פיזיקלי כללי כלשהו: $\ \left|\Psi _{0}\right\rangle =\alpha \left|+\right\rangle +\beta \left|-\right\rangle$ (וכמובן $\ \left|\alpha \right|^{2}+\left|\beta \right|^{2}=1$ ). ונרצה למצוא את ההתפתחות בזמן של המצב הזה:

עבור מומנט בכיוון $\ {\hat {z}}$ לא תהיה כל התפתחות בזמן (כי זהו גם כיוון השדה המגנטי). באופן כללי, נקבל פרסציה: $\ \left|\Psi \left(t\right)\right\rangle =\alpha e^{-i{\frac {\omega _{0}t}{2}}}\left|+\right\rangle +\beta e^{i{\frac {\omega _{0}t}{2}}}\left|-\right\rangle$ . במילים אחרות, $\ \omega _{0}$ היא תדירות הפרסציה של הגוף.

(...המשך בשיעור הבא...)

הפרק הקודם:
הרצאה מספר 1

עמוד ראשי:
פיזיקה קוונטית 2 - מחברת קורס

ההרצאה הבאה:
הרצאה מספר 3