מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 92 סעיף 43

נתון המעגל שמרכזו בנקודה $M(2,3)$ ורדיוסו ${\sqrt {32}}$ . מצא לאילו ערכי $k$ הנקודה $(k,k+1)$ נמצאת:

1. בתוך המעגל.
2. על המעגל.
3. מחוץ למעגל.

פתרון

נמצא את משוואת המעגל:

${\begin{aligned}(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=32\\(x-2)^{2}+(y-3)^{2}-32=0\end{aligned}}$

נציב את $k$ הנקודה ונמצא מתי הנקודה נמצא על המעגל:

${\begin{aligned}(k-2)^{2}+(k+1-3)^{2}-32=0\\(k-2)^{2}+(k-2)^{2}-32=0\\k^{2}-4k+4+k^{2}-4k+4-32=0\\2k^{2}-8k-24=0\\k^{2}-4k-12=0\\(k+2)(k-6)=0\\k_{1}=6\ ,\ k_{2}=-2\end{aligned}}$

בכדי למצוא מתי הנקודה נמצאת מחוץ או בתוך המעגל עלינו לפתור אי־שוויונות ממעלה שניה . מאחר שמקדם $k$ הוא חיובי, הפרבולה מחייכת ולכן:

1. הנקודה בתוך המעגל כאשר $-2<k<6$
2. הנקודה מחוץ למעגל כאשר $k<-2$ או $k>6$