מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 92 סעיף 43

נתון המעגל שמרכזו בנקודה $M(2,3)$ ורדיוסו $\sqrt{32}$ . מצא לאילו ערכי $k$ הנקודה $(k,k+1)$ נמצאת:

1. בתוך המעגל.
2. על המעגל.
3. מחוץ למעגל.

פתרון

נמצא את משוואת המעגל:

$\begin{array}{c}(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=32\\ (x-2{)}^2+(y-3{)}^2-32=0\end{array}$

נציב את $k$ הנקודה ונמצא מתי הנקודה נמצא על המעגל:

$\begin{array}{c}(k-2{)}^2+(k+1-3{)}^2-32=0\\ (k-2{)}^2+(k-2{)}^2-32=0\\ k^2-4k+4+k^2-4k+4-32=0\\ 2k^2-8k-24=0\\ k^2-4k-12=0\\ (k+2)(k-6)=0\\ k_1=6,k_2=-2\end{array}$

בכדי למצוא מתי הנקודה נמצאת מחוץ או בתוך המעגל עלינו לפתור אי־שוויונות ממעלה שניה . מאחר שמקדם $k$ הוא חיובי, הפרבולה מחייכת ולכן:

1. הנקודה בתוך המעגל כאשר $-2<k<6$
2. הנקודה מחוץ למעגל כאשר $k<-2$ או $k>6$