מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ז' שאלון 035007/עמוד 117 סעיף 21

מצא על ציר ה-$y$ את הנקודה $A(0,y)$ כך שאורכי המשיקים ממנה למעגלים $(x+1)^{1}+(y+2)^{2}=5$ ו-$(x-4)^{1}+y^{2}=8$ שווים.

נסמן את נקודת ההשקה למעגל $(x+1)^{1}+(y+2)^{2}=5$ באות $C$, ואת נקודת ההשקה למעגל השני באות $B$.

נמצא את אורך המשיק $AC$ באמצעות פיתגורס: $AC={\sqrt {O_{1}A^{2}-O_{1}C}}={\sqrt {[(0+1)^{2}+(2+y)^{2}]-5}}$

נמצא את אורך המשיק $AB$ באמצעות פיתגורס: $AC={\sqrt {O_{2}A^{2}-O_{2}B}}={\sqrt {[(0-4)^{2}+(y-0)^{2}]-8}}$

מאחר שאנו מחפשים אורכי משיק שווים, נשווה בין אורכי המשיקים ונקבל ${\sqrt {[(0+1)^{2}+(2+y)^{2}]-5}}={\sqrt {[(0-4)^{2}+(y-0)^{2}]-8}}$

${\begin{aligned}{\sqrt {[(0+1)^{2}+(2+y)^{2}]-5}}={\sqrt {[(0-4)^{2}+(y-0)^{2}]-8}}\\1+4+4y+y^{2}-5=16+y^{2}-8\\4y=8\\y=2\end{aligned}}$