מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 110 סעיף 22

${\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{n+3}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}>{\frac {13}{24}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}L:{\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}\\R:{\frac {13}{24}}\\{\frac {1}{2n}}>{\frac {13}{24}}\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k+2}}+{\frac {1}{k+3}}+\cdots +{\frac {1}{2k}}>{\frac {13}{24}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {1}{k+2}}+{\frac {1}{k+3}}+\cdots +{\frac {1}{2k}}} _{=(enoughtosay){\frac {13}{24}}-{\frac {1}{k+1}}}+{\frac {1}{(2k+1)}}+{\frac {1}{(2k+2)}}>{\frac {13}{24}}\\&{\frac {13}{24}}-{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{(2k+1)}}+{\frac {1}{(2k+2)}}>{\frac {13}{24}}\\&-{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{(2k+1)}}+{\frac {1}{(2k+2)}}>0\\&\downarrow \\&-2(2k+1)+2k+2+2k+1>0\\&-4k-2+2k+2k+1>0\\&1>0\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

חץ : המכנה חיובי (K טבעי) ולכן, ניתן לבטל את הבסיסים.