מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ מועד א, תשע"ו/035806/תרגיל 7

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה $f(x)={\frac {ax^{3}+2ax}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}$ $a$ הוא פרמטר גדול מ־$0$. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ האם הפונקציה $f(x)$ היא זוגית או אי־זוגית? נמק. השטח, המוגבל על ידי גרף הפונקציה $f(x)$, על ידי ציר ה־$x$ ועל ידי הישרים $x=1$ ו־$x=-1$ , שווה ל־$4$ .מצא את הערך של a נתון כי הפונקציה $g(x)$ מקיימת $f(x)=g'(x)$. אחת מנקודות החיתוך בין הגרפים של הפונקציות ( f(x ו־ ( g(x היא נקודה שבה x=0 הראה כי הפונקציה ( g(x מקיימת: $g(x)=2x^{2}$ מצא את התחום שבו מתקיים $f(x)>g(x)$
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

נתונה הפונקציה $f(x)={\frac {ax^{3}+2ax}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}$

תחום ההגדרה הוא $x^{4}+4x^{2}+4>0$ בשל השורש.

על כן $(x^{2}+2)(x^{2}+2)>0$

$x^{2}>-2$ ולכן הפתרון הוא "לכל $x$".

סעיף ב

נבדוק האם הפונקציה :

• זוגית ומקיימת $\ f(x)=f(-x)$.

$f(-x)={\frac {a(-x)^{3}+2a(-x)}{\sqrt {(-x)^{4}+4(-x)^{2}+4}}}={\frac {-ax^{3}-2ax}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}$ אינה זוגית מאחר והערכים אינם דומים.

• אי זוגית ומקיימת $\ f(-x)=-f(x)$.

נבחן האם $f(-x)={\frac {-ax^{3}-2ax}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}$ זהה לערכי $-f(x)={\frac {-(ax^{3}+2ax)}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}$ ונראה כי הם זהים ולכן הפונקציה היא אי זוגית.

סעיף ג

$\int {\frac {ax^{3}+2ax}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}dx$

נוציא את הקבוע: $a\int {\frac {x^{3}+2x}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}dx$

נעזר בשיטת ההצבה ונגדיר: $t=x^{4}+4x^{2}+4$

נמצא את f' עבור $f(t)$ ונקבל : $f't=(4x^{3}+8x)$

נציב בנוסחה ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x)}$ ונקבל ${\frac {dt}{dx}}=(4x^{3}+8x)$

נבודד את dx: ${\frac {dt}{4x^{3}+8x}}=dx$

נציב את t, dt בפונקציה $a\int {\frac {x^{3}+2x}{\sqrt {u}}}*{\frac {du}{4x^{3}+8x}}$

נוציא גורם משותף: $a\int {\frac {x^{3}+2x}{\sqrt {u}}}*{\frac {du}{4(x^{3}+2)x}}$

נצמצם ${\frac {a}{4}}\int {\frac {1}{\sqrt {t}}}*{\frac {du}{4}}$

נוציא קבוע: ${\frac {a}{4}}\int {\frac {1}{\sqrt {t}}}*du$

נבצע אינטגרציה: ${\frac {a}{4}}{\frac {t^{{\frac {-1}{2}}+1={\frac {1}{2}}}}{\frac {1}{2}}}+c{\bigg |}_{a}^{b}$

(נעזרנו בחוקי חזקות לפיהם ${\frac {1}{t}}=t^{-1}$)

נקבל ${\frac {a}{4}}{\frac {t^{\frac {1}{2}}}{\frac {1}{2}}}+c{\bigg |}_{a}^{b}$ כלומר ${\frac {a}{4}}*{2{\sqrt {t}}}+c{\bigg |}_{a}^{b}$

לסיכום ${\frac {a}{2}}*{\sqrt {t}}+c{\bigg |}_{a}^{b}$

נציב את t: ${\frac {a}{2}}*{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}+c{\bigg |}_{a}^{b}$

שטח האינטגרל שווה ארבע (נתון) בתחום: ${\frac {a}{2}}*{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}{\bigg |}_{-1}^{1}=4$

מאחר שהפונקציה שלנו היא אי זוגית ואיננו רוצים לבטל את שטחים של הפונקציה זה בזה, לא נבצע אינטגרל בתחום ${\displaystyle -1<x<1}$ אלא בתחומים ${\displaystyle 0<x<1}$ וגם ${\displaystyle 0<x<-1}$ או לחילופין מאחר והשטחים זהים נכפיל בשתים את אחד השטחים: $2*{\frac {a}{2}}*{\sqrt {t}}+c{\bigg |}_{0}^{1}$

נציב את התחום: $2*[{\frac {a}{2}}*{\sqrt {(1+4+4)}}-{\sqrt {(0+4}}]=4$

נצמצם $[a*(3-2)]=4$

נקבל $a=4$

סעיף ד, א

נתון $g(x)$ פונקציה קדומה.

$f(x)={\frac {4x^{3}+8x}{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}}$

נמצא את $g(x)=\int f(x)dx$. ביצענו את האינטגרל בסעיף הקודם: ${\frac {a}{2}}*{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}+c{\bigg |}_{a}^{b}$

$g(x)=\int f(x)dx=2*{\sqrt {x^{4}+4x^{2}+4}}+c=2*{\sqrt {(x^{2}+2)^{2}}}+c=2*{(x^{2}+2)}+c=2x^{2}+4+c$

נמצא את $C$ :

הפונקציה והנגזרת עוברות בנקודה $x=0$

נמצא את ערך הנקודה באמצעות הנגזרת $f(0)={\frac {4*0^{3}+8*0}{\sqrt {0^{4}+4*0^{2}+4}}}=0$

נציב את ערכי הנקודה בפונקציה הקדומה ונקבל $2*0^{2}+4+c=0$ דהינו $c=-4$

נציב את ערך הקבוע בפונקציה הקדומה ונקבל את ערכה המדויק: $2x^{2}+4-4=2x^{2}$

הוכחנו את המתבקש.

סעיף ד, ב

$g(x)=2x^{2}$

$f(x)={\frac {2x^{3}+8x}{\sqrt {(x^{2}+2)^{2}}}}={\frac {4x(x^{2}+2)}{(x^{2}+2)^{2}}}=4x$

נמצא מתי $f(x)>g(x)$ באמצעות נקודות החיתוך:

$4x>2x^{2}$

$2x^{2}-4x<0$

$2x^{2}-4x=0$

$2x(x-2)=0$

$x=0,x=2$

נפתור את אי השיוויון הריבועי באמצעות בנית ציר ונראה כי הפרבולה נמצאת מתחת לציר ה-x בערכים $0<x<2$