מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ מועד א, תשע"ו/035806/תרגיל 7

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
טוען את הטאבים...

סעיף א[עריכה]

נתונה הפונקציה

תחום ההגדרה הוא בשל השורש.

על כן

ולכן הפתרון הוא "לכל ".

סעיף ב[עריכה]

נבדוק האם הפונקציה :

  • זוגית ומקיימת .
אינה זוגית מאחר והערכים אינם דומים.
  • אי זוגית ומקיימת .
נבחן האם זהה לערכי ונראה כי הם זהים ולכן הפונקציה היא אי זוגית.

סעיף ג[עריכה]

נוציא את הקבוע:

נעזר בשיטת ההצבה ונגדיר:

נמצא את f' עבור ונקבל :

נציב בנוסחה ונקבל

נבודד את dx:

נציב את t, dt בפונקציה

נוציא גורם משותף:

נצמצם

נוציא קבוע:

נבצע אינטגרציה:

(נעזרנו בחוקי חזקות לפיהם )

נקבל כלומר

לסיכום

נציב את t:

שטח האינטגרל שווה ארבע (נתון) בתחום:

מאחר שהפונקציה שלנו היא אי זוגית ואיננו רוצים לבטל את שטחים של הפונקציה זה בזה, לא נבצע אינטגרל בתחום אלא בתחומים וגם או לחילופין מאחר והשטחים זהים נכפיל בשתים את אחד השטחים:

נציב את התחום:

נצמצם

נקבל

סעיף ד, א[עריכה]

נתון פונקציה קדומה.

נמצא את . ביצענו את האינטגרל בסעיף הקודם:

נמצא את  :

הפונקציה והנגזרת עוברות בנקודה

נמצא את ערך הנקודה באמצעות הנגזרת

נציב את ערכי הנקודה בפונקציה הקדומה ונקבל דהינו

נציב את ערך הקבוע בפונקציה הקדומה ונקבל את ערכה המדויק:

הוכחנו את המתבקש.

סעיף ד, ב[עריכה]

נמצא מתי באמצעות נקודות החיתוך:

נפתור את אי השיוויון הריבועי באמצעות בנית ציר ונראה כי הפרבולה נמצאת מתחת לציר ה-x בערכים