מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035303/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי מתקיים $1^{2}+2^{2}+\cdots +(2n)^{2}={\frac {n(2n+1)(4n+1)}{3}}$ (ארבע איברים מוצגים *!). הבע באמצעות $n$ את הסכום: $(2\cdot 3)^{2}+(2\cdot 4)^{2}+\cdots +(2\cdot 2n)^{2}$
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
מקור	[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

${\begin{aligned}&L_{eft}:(2*1)^{2}=R_{ight}:{\frac {1(2\cdot 1+1)(4\cdot 1+1)}{3}}\\&L_{eft}:(2\cdot 1)^{2}\Rightarrow 1^{2}+2^{2}=R_{ight}:5\\&5=5\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$1^{2}+2^{2}+\cdots +(2k)^{2}={\frac {k(2k+1)(4k+1)}{3}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $n=k+1$

${\begin{aligned}&\underbrace {1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +(2k)^{2}} _{\frac {k(2k+1)(4k+1)}{3}}+(2k+1)^{2}+(2k+2)^{2}={\frac {(k+1)(2k+3)(4k+5)}{3}}\\&{\frac {k(2k+1)(4k+1)}{3}}+(2k+1)^{2}+(2k+2)^{2}={\frac {(k+1)(2k+3)(4k+5)}{3}}\\&k(2k+1)(4k+1)+3(2k+1)^{2}+3(2k+2)^{2}=(k+1)(2k+3)(4k+5)\\&k(8k^{2}+6k+1)+3(4k^{2}+4k+1)+3(4k^{2}+8k+4)=(2k^{2}+5k+3)(4k+5)\\&8k^{3}+6k^{2}+k+12k^{2}+12k+3+12k^{2}+24k+12=8k^{3}+10k^{2}+20k^{2}+25k+12k+15\\&6k^{2}+k+12k^{2}+12k+3+12k^{2}+24k+12=10k^{2}+20k^{2}+25k+12k+15\\&30k^{2}+37k+15=30k^{2}+37k+15\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

עלינו להביע באמצעות $n$ את הסכום: $(2\cdot 3)^{2}+(2\cdot 4)^{2}+\cdots +(2\cdot 2n)^{2}$ .

כיון שהסדרה "זרה לנו" (אין אנו יודעים לחשב ישירות את הסכום שלה), נקשר אותה (נמצא את ההבדל בין הסדרות/קשר/מה חסר כדי שיהיו דומות) אל הסדרה הראשונה:

$1^{2}+2^{2}+\cdots +(2n)^{2}={\frac {n(2n+1)(4n+1)}{3}}$

הספרה 2 מפריעה לנו ולכן "נוציא" אותה מהסדרה. מהסדרה החדשה ניתן להוציא את הספרה $2^{2}$ . מקבלים: $2^{2}\cdot 3^{2}+2^{2}\cdot 4^{2}+\cdots +2^{2}(2n)^{2}$. באמצעות גורם משותף, נקבל את הסדרה הראשונה :$\color {blue}2^{2}{\big [}3^{2}+4^{2}+\cdots +(2n)^{2}{\big ]}$ . כלומר עלינו למצוא את הסכום של הסדרה הראשונה (יודעים לחשב) ולכפול בארבע.

הסכום אותו עלינו לגלות: מהאבר $3^{2}$ ועד האבר $n^{2}$ . כיון שהמספר לא רחוק, נוכל להחסיר ידנית את $1^{2}+2^{2}$ ולחסוך סעיף של חישוב.

סכום הסדרה עד האבר $2n^{2}$ שווה: $1^{2}+2^{2}+\cdots +(2n)^{2}={\frac {n(2n+1)(4n+1)}{3}}$ (הוכחנו). נחסיר את האברים המיותרים:

$3^{2}+4^{2}+\cdots +(2n)^{2}={\frac {n(2n+1)(4n+1)}{3}}-1^{2}-2^{2}$

נכפיל בארבע ונקבל את ביטוי הסכום של הסדרה החדשה: $S=4\left({\frac {n(2n+1)(4n+1)}{3}}-1^{2}-2^{2}\right)$