מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035302/תרגיל 4

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי מתקיים ${\frac {1}{4\cdot 5}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7}}+\cdots +{\frac {1}{(n+3)(n+4)}}={\frac {n}{4(n+4)}}$ . נתון שסכום $n$ המחוברים הראשונים של הטור שבסעיף א' הוא ${\frac {1}{5}}$ . חשב את המחובר ה- $n$-י בטור.
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
	[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

${\begin{aligned}&L_{eft}:{\frac {1}{(n+3)(n+4)}}=R_{ight}={\frac {n}{4(n+4)}}\\&L_{eft}:{\frac {1}{(1+3)(1+4)}}=R_{ight}={\frac {1}{4(1+4)}}\\&L_{eft}:{\frac {1}{4\cdot 5}}=R_{ight}={\frac {1}{4\cdot 5}}\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

${\frac {1}{4\cdot 5}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7}}+\cdots +{\frac {1}{(k+3)(k+4)}}={\frac {k}{4(k+4)}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $n=k+1$

${\begin{aligned}&\underbrace {{\frac {1}{4\cdot 5}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7}}+\cdots +{\frac {1}{(k+3)(k+4)}}} _{\frac {k}{4(k+4)}}+{\frac {1}{(k+4)(k+5)}}={\frac {k+1}{4(k+5)}}\\&{\frac {k}{4(k+4)}}+{\frac {1}{(k+4)(k+5)}}={\frac {k+1}{4(k+5)}}\\&k(k+5)+4=(k+1)(k+4)\\&k^{2}+5k+4=k^{2}+5k+4\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

עלינו לגלות את האבר ה- $n$ , שחיבור האברים עד אליו נותן $S_{n-1}={\frac {1}{5}}$

ראשית נגלה את מקום האבר על-פי סכום הסדרה:

${\begin{aligned}&{\frac {n}{4(n+4)}}={\frac {1}{5}}\\&5n=4n+16\\&n=16\end{aligned}}$

עתה משמצאנו את מיקום האבר נמצא את ערכו באמצעות הנוסחא הכללית של הסדרה:

${\begin{aligned}&a_{n}={\frac {1}{(n+3)(n+4)}}\\&a_{16}={\frac {1}{(16+3)(16+4)}}\\&a_{16}={\frac {1}{18\cdot 20}}\\\end{aligned}}$