הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי עבור כל n {\displaystyle \ n} טבעי אי-זוגי הביטוי : n 3 + 2 n {\displaystyle \ n^{3}+2n} מתחלק ב- 3 {\displaystyle \ 3} ללא שארית.
1 3 + 2 ∗ 1 3 = Z 3 3 = Z √ {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1^{3}+2*1}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3}{3}}=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}}
k 3 + 2 k 3 = Z {\displaystyle {\frac {k^{3}+2k}{3}}=\mathbb {Z} }
( k + 2 ) 3 + 2 ( k + 2 ) 3 = Z k 3 + 6 k 2 + 12 k + 8 + 2 k + 4 3 = Z k 3 + 2 k 3 + 6 k 2 + 12 k + 8 + 4 3 = Z Z + 6 k 2 + 12 k + 8 + 4 3 = Z 6 k 2 + 12 k + 12 3 = Z 6 ( k 2 + 2 k + 2 ) 3 = Z 2 ( k 2 + 2 k + 2 ) = Z {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+2)^{3}+2(k+2)}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k^{3}+6k^{2}+12k+8+2k+4}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k^{3}+2k}{3}}+{\frac {6k^{2}+12k+8+4}{3}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {6k^{2}+12k+8+4}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6k^{2}+12k+12}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6(k^{2}+2k+2)}{3}}=\mathbb {Z} \\&2(k^{2}+2k+2)=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
k {\displaystyle \ k} טבעי (חיובי ושלם) ולכן, האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.
(אי זוגי)
טבעי
טבעי (חיובי ושלם) ולכן, האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.
