מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ב/035302/תרגיל 4

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי לכל $\ n$ טבעי מתקיים : $\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}={\frac {1}{4}}n^{2}(n+1)^{2}$. חשב את הסכום : $\ 6^{3}+7^{3}+\cdots +50^{3}$
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
מקור	[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L_{eft}:1^{3}=R_{ight}{\frac {1}{4}}*1^{2}(1+1)^{2}\\&L_{eft}:1^{3}=R_{ight}{\frac {1}{4}}(2)^{2}\\&L_{eft}:1^{3}=R_{ight}{\frac {1}{1}}\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +k^{3}={\frac {1}{4}}k^{2}(k+1)^{2}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&\underbrace {1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +k^{3}} _{{\frac {1}{4}}k^{2}(k+1)^{2}}+(k+1)^{3}={\frac {1}{4}}*(k+1)^{2}(k+1+1)^{2}\\&{\frac {1}{4}}k^{2}(k+1)^{2}+(k+1)^{3}={\frac {1}{4}}*(k+1)^{2}(k+2)^{2}/*4\\&k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}=(k+1)^{2}(k+2)^{2}/:(k+1)^{2}\\&k^{2}+4(k+1)=(k+2)^{2}\\&k^{2}+4k+4=k^{2}+4k+4\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

כיוון שתרגיל האינדוקציה מאוד פשוטה, אפשר לראות את ה-$\ n$ ישר מהתרגיל : $\ 6^{3}+7^{3}+\cdots +50^{3}$ ($\ n=6$ ו-$\ n=50$) ולגלות את הסכום על פי סכום האינדוקציה : ${\frac {1}{4}}n^{2}(n+1)^{2}$, כלומר עלינו לבצע $\ S_{1-50}-S_{1-6}$.

${\begin{aligned}&S_{50}={\frac {1}{4}}*50^{2}(50+1)^{2}=1,625,625\\-\\&{\underline {S_{5}={\frac {1}{4}}*5^{2}(5+1)^{2}=225}}\\&S_{6-50}=1,625,400\\\end{aligned}}$