מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ב/035302/תרגיל 4

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי לכל $n$ טבעי מתקיים : $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2$. חשב את הסכום : $6^3+7^3+\cdots +50^3$
נושאים	אינדוקציה,חישוב סכום
מקור	[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L_{eft}:1^3=R_{ight}\frac{1}{4}\ast 1^2(1+1{)}^2\\ & L_{eft}:1^3=R_{ight}\frac{1}{4}(2{)}^2\\ & L_{eft}:1^3=R_{ight}\frac{1}{1}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$1^3+2^3+3^3+\cdots +k^3=\frac{1}{4}{k}^2(k+1{)}^2$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{\frac{1}{4}{k}^2(k+1{)}^2}{\underbrace{1^3+2^3+3^3+\cdots +k^3}}+(k+1{)}^3=\frac{1}{4}\ast (k+1{)}^2(k+1+1{)}^2\\ & \frac{1}{4}{k}^2(k+1{)}^2+(k+1{)}^3=\frac{1}{4}\ast (k+1{)}^2(k+2{)}^2/\ast 4\\ & k^2(k+1{)}^2+4(k+1{)}^3=(k+1{)}^2(k+2{)}^2/:(k+1{)}^2\\ & k^2+4(k+1)=(k+2{)}^2\\ & k^2+4k+4=k^2+4k+4\end{array}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

כיוון שתרגיל האינדוקציה מאוד פשוטה, אפשר לראות את ה-$n$ ישר מהתרגיל : $6^3+7^3+\cdots +50^3$ ($n=6$ ו-$n=50$) ולגלות את הסכום על פי סכום האינדוקציה : $\frac{1}{4}{n}^2(n+1{)}^2$, כלומר עלינו לבצע $S_{1-50}-S_{1-6}$.

$\begin{array}{cc}& S_{50}=\frac{1}{4}\ast 50^2(50+1{)}^2=1,625,625\\ -\\ & \underset{\_}{S_5=\frac{1}{4}\ast 5^2(5+1{)}^2=225}\\ & S_{6-50}=1,625,400\end{array}$