מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/דף נוסחאות

ברשימה זאת מוצגות נוסחאות מענף הטריגונומטריה.

הערה: בנוסחאות אלה הזויות הן בהצגה רדיאנית, כנהוג. על מנת שתוכלו להציב ערכים במעלות, בכל מקום בו רשום $\pi$ , רשמו $180^{\circ }$ .

זהויות יסודיות

$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\ ,\ x\neq {\frac {\pi }{2}}$

$\cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\ ,\ x\neq 0$

$\tan(x)\cdot \cot(x)=1\ ,\ x\neq {\frac {\pi }{2}},0$

$1+\tan ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\ ,\ x\neq {\frac {\pi }{2}}$

$1+\cot ^{2}(x)={\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}\ ,\ x\neq 0$

$\tan(x)=\cot(x)-2\cot(2x)\ ,\ x\neq {\frac {\pi }{2}},0$

$\sin(\pi -x)=\sin(x)$

$\cos(\pi -x)=-\cos(x)$

$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)=\cos(x)$

$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)=\sin(x)$

$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)=\tan(x)$

$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)=\cot(x)$

זוית שלילית

$\sin(-x)=-\sin(x)$

$\cos(-x)=\cos(x)$

$\tan(-x)=-\tan(x)$

$\cot(-x)=-\cot(x)$

סכום והפרש זויות

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)$

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}$

נוסחאות אלה אפשר להוכיח בעזרת בנייה גאומטרית מתאימה, או בעזרת נוסחת אוילר: $e^{xi}=\cos(x)+\sin(x)i$ (כאשר $i$ היא היחידה המרוכבת) והעובדה ש- $e^{z+w}=e^{z}\cdot e^{w}$ לכל שני מספרים מרוכבים $z,w$ (ראה פונקציית האקספוננט).

זוית כפולה

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

$\cot(2x)={\frac {\cot ^{2}(x)-1}{2\cot(x)}}$

מחצית זוית

$\sin \left({\tfrac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$ או $\sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$

$\cos \left({\tfrac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$ או $\cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$

$\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}}$

כאשר סימן השורש נקבע לפי סימנה של הפונקציה שבאגף שמאל ברביע בו נמצאת הזוית ${\tfrac {x}{2}}$ .

$\tan \left({\tfrac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}$

מעבר מסכום/הפרש פונקציות למכפלת פונקציות

$\sin(x)\pm \sin(y)=2\sin \left({\frac {x\pm y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x\mp y}{2}}\right)$

$\cos(x)+\cos(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos(x)-\cos(y)=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan(x)\pm \tan(y)={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos(x)\cos(y)}}$

מעבר ממכפלת פונקציות לסכום/הפרש פונקציות

$\sin(x)\sin(y)={\frac {\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}$

$\cos(x)\cos(y)={\frac {\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}$

$\sin(x)\cos(y)={\frac {\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}}$

זוית משולשת

$\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)$

$\tan(3x)={\frac {3\tan(x)-\tan ^{3}(x)}{1-3\tan ^{2}(x)}}$

קירובים

שימו לב: קירובים אלו טובים אך ורק עבור יצוג ברדיאנים (כי קשרים בין זוית לפונקציה נכונים רק עבור רדיאנים).

• עבור זויות קטנות ($x<<15^{\circ }\approx 0.26{\rm {rad}}$) מתקיים:

$\sin(x)\approx \tan(x)\approx x$

וכן, $\arcsin(x)\approx \arctan(x)\approx x$

$\cos(x)\approx 1$

פונקציות מורכבות

• $\cos {\big (}\arctan(x){\big )}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$