נתונה הפונקציה
- מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים
- מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (הבע באמצעות a במידת הצורך) וקבע את סוג הקיצון.
- קבע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. נמק.
- מצא את התחום שבו הפונקציה קעורה כלפי מעלה ואת התחום בו היא קעורה כלפי מטה.
- שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור a>5.
- מצא לאיזה ערך של a ציר הx משיק לגרף הפונקציה .
אסימפטוטה[עריכה]
אסימפטוטה מאונכת לציר ה-x:
דהינו . הנקודה החשודה אינה מאפסת את המונה ולכן היא אסימפטוטה.
אסימפטוטה מאונכת לציר ה-y:
ראשית נמצא מכנה משותף לפונקציה, באמצעות כפילה ב-.
ניתן להעזר בדרך הקצרה למציאת האסימפטוטה מאחר ומדובר בפונקציה רציונאלית. הנעלם בחזקה הגדולה ביותר נמצא הן במכנה והן במונה ולכן נחלק את המקדמים שלהם ונמצא כי .
נבדוק חיתוך פונקציה עם האסימפטוטה:
נקבל כי
נפטר מהמכנה,
נקבל,
נקבל כי , כלומר האסימפטוטה נחתך עם הפונקציה בנקודה
נקודות קיצון וסוגן[עריכה]
מאחר ותחום ההגדרה הינו , יש לנו נקודת קיצון אחת בלבד והיא נמצא את ערך ה- באמצעות הצבה ערך ה-2 בפונקציה.
נקודה חשודה להיות נקודת קיצון הינה
נבדוק את התווצאה של הנגזרת בנקודות לפני ואחרי בכדי לבדוק האם נקודת קיצון או פיתול (נזכור ואנו בודקים מונה בלבד מפני שהמכנה תמיד חיובי):
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
x
|
+ () |
0 |
() - |
לא מוגדר |
+ () |
y'
|
עולה |
נקודת מינמום |
יורדת |
לא מוגדרת |
עולה |
y
|
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
x
|
+ () |
0 |
() - |
לא מוגדר |
+ () |
y'
|
עולה |
נקודת מינמום |
יורדת |
לא מוגדרת |
עולה |
y
|
עולה:
יורדת :
נקודות פיתול[עריכה]
נגזור פעם שניה את הנגזרת
נקבל
נשווה לאפס,
הנקודה החשודה היחידה היא (הרי תחום ההגדרה )
נמצא את ערך ה-y
הנקודה הינה
נבחן את סוג הנקודה באמצעות בדיקת הנקודות סביב הנקודה החשודה:
4 |
3 |
2.5 |
x
|
+ |
נקודה חשודה |
+ |
y'
|
+ |
נקודת פיתול |
0 |
y
|