מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ב'-1 שאלון 035806/עמוד 666 סעיף 9

שאלה

נתונה הפונקציה $a>0f(x)={\frac {4a}{x^{2}}}-{\frac {4a}{x}}+5$

1. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים
2. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (הבע באמצעות a במידת הצורך) וקבע את סוג הקיצון.
3. קבע את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. נמק.
4. מצא את התחום שבו הפונקציה קעורה כלפי מעלה ואת התחום בו היא קעורה כלפי מטה.
5. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור a>5.
6. מצא לאיזה ערך של a ציר הx משיק לגרף הפונקציה .

אסימפטוטה

אסימפטוטה מאונכת לציר ה-x: $x^{2}=0$ דהינו $x=0$. הנקודה החשודה אינה מאפסת את המונה ולכן היא אסימפטוטה.

אסימפטוטה מאונכת לציר ה-y: ראשית נמצא מכנה משותף לפונקציה, $f(x)={\frac {4a}{x^{2}}}-{\frac {4a}{x}}+5$ באמצעות כפילה ב-$x^{2}$.

$f(x)={\frac {4a-4ax+5x^{2}}{x^{2}}}$

ניתן להעזר בדרך הקצרה למציאת האסימפטוטה מאחר ומדובר בפונקציה רציונאלית. הנעלם בחזקה הגדולה ביותר נמצא הן במכנה והן במונה ולכן נחלק את המקדמים שלהם ונמצא כי $y=5$.

נבדוק חיתוך פונקציה עם האסימפטוטה: $5={\frac {4a}{x^{2}}}-{\frac {4a}{x}}+5$

נקבל כי ${\frac {4a}{x^{2}}}-{\frac {4a}{x}}=0$

נפטר מהמכנה, $4a-4ax=0$

נקבל, $4ax=4a$

נקבל כי $x=1$, כלומר האסימפטוטה נחתך עם הפונקציה בנקודה $(1,5)$

נקודות קיצון וסוגן

$f'(x)={\frac {(-4a+10x)(x^{2})-2x(4a-4ax+5x^{2})}{x^{4}}}$

$(-4a+10x)(x^{2})-2x(4a-4ax+5x^{2})=0$

$-4ax^{2}+10x^{3}-8xa+8ax^{2}-10x^{3}=0$

$4ax^{2}-8xa=0$

$4ax(x-2)=0$

$x=0;x=2$

מאחר ותחום ההגדרה הינו $x=0$, יש לנו נקודת קיצון אחת בלבד והיא $x=2$ נמצא את ערך ה-$y$ באמצעות הצבה ערך ה-2 בפונקציה.

$f(2)={\frac {4a-8a+20}{4}}={\frac {-4a+20}{4}}=-a+5$

נקודה חשודה להיות נקודת קיצון הינה $(2,-a+5)$

נבדוק את התווצאה של הנגזרת בנקודות לפני ואחרי בכדי לבדוק האם נקודת קיצון או פיתול (נזכור $a>1$ ואנו בודקים מונה בלבד מפני שהמכנה תמיד חיובי):

3	2	1	0	-1	x
+ ($4a$)	0	($-4a$) -	לא מוגדר	+ ($16a$)	y'
עולה	נקודת מינמום	יורדת	לא מוגדרת	עולה	y

סעיף 3

3	2	1	0	-1	x
+ ($4a$)	0	($-4a$) -	לא מוגדר	+ ($16a$)	y'
עולה	נקודת מינמום	יורדת	לא מוגדרת	עולה	y

עולה: $x<0$

יורדת : $x>0$

נקודות פיתול

נגזור פעם שניה את הנגזרת $f'(x)={\frac {-4ax^{2}+10x^{3}-8xa+8ax^{2}-10^{3}}{(x^{4})}}={\frac {4ax^{2}-8xa}{x^{4}}}$

נקבל $f''(x)={\frac {x^{4}(8ax-8a)-4x^{3}(4ax^{2}-8xa)}{x^{8}}}$

נשווה לאפס, $x^{4}(8ax-8a)-4x^{3}(4ax^{2}-8xa)=0$

$8ax^{5}-8ax^{4}-16x^{5}a+32x^{4}a=0$

$ax^{5}-ax^{4}-2x^{5}a+4x^{4}a=0$

$ax^{4}(x-1-2x+4)=0$

$ax^{4}(-x+3)=0$

$x=0,x=3$

הנקודה החשודה היחידה היא $x=3$ (הרי תחום ההגדרה $x\neq 0$)

נמצא את ערך ה-y

$f(3)={\frac {4a-12a+45}{3^{2}}}={\frac {-8a+45}{9}}$

הנקודה הינה $(3,{\frac {-8a+45}{9}})$

נבחן את סוג הנקודה באמצעות בדיקת הנקודות סביב הנקודה החשודה:

4	3	2.5	x
+	נקודה חשודה	+	y'
+	נקודת פיתול	0	y