מתמטיקה תיכונית/חשבון אינטגרלי/נפחים

חישובי נפחים באמצעות אינטגרל הם דרך לחשב נפח של גוף סיבוב (צורה המסתובבת סביב אחת מצלעותיה).

החישוב נעשה באמצעות אינטגרל מסוים (הפרש בין אינטגרלים, מה שמוחק את c כי $\int _{b}^{a}f(x)=F(a)-F(b)$ וכך מחסרים את c מc והוא נמחק).

חישוב

נסמן נקודה $\left(a,f(a)\right)$ שתשמש כנקודת מוצא. הפונקציה $V(x)$ היא הפונקציה שמתאימה לכל ערך $x_{1}$ את נפח גוף הסיבוב המתקבל מסיבוב של השטח בין הפונקציה $f(x)$, הישרים $y=a$, ו- $y=x_{1}$, וציר הx, סביב ציר הx.

נחשב את הנגזרת של הפונקציה $V(x)$:

$V'(x)=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {V(x)-V(x_{1})}{x-x_{1}}}$

ברור שההפרש $V(x)-V(x_{1})$ קטן מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן $x_{1}xDE$ סביב $x_{1}x$, וגדול מהגליל שנוצר מסיבוב מלבן $x_{1}xBC$ סביב $x_{1}x$. נקבל:

$\pi f(x)^{2}\cdot (x-x_{1})\leq V(x)-V(x_{1})\leq \pi f(x_{1})\cdot (x-x_{1})$ (הקטע $Cx$ שווה ל$f(x)$ והקטע $Dx_{1}$)

נחלק ב$x-x_{1}$ ונקבל:

$\pi f(x)^{2}\leq {\frac {V(x)-V(x_{1})}{x-x_{1}}}\leq \pi f(x_{1})^{2}$

נפעיל גבול:

$\lim _{x_{1}\to x}\pi f(x_{1})^{2}\leq \lim _{x_{1}\to x}{\frac {V(x)-V(x_{1})}{x-x_{1}}}\leq \lim _{x_{1}\to x}\pi f(x)^{2}$

הגבול $\lim _{x_{1}\to x}f(x_{1})$ שווה ל$f(x)$ ולכן:

$\pi f(x)^{2}\leq V'(x)\leq \pi f(x)^{2}\Rightarrow V'(x)=\pi f(x)^{2}$

כלומר הפונקציה $V(x)$ היא פונקציה קדומה של $\pi f(x)^{2}$. כעת נראה כי שימוש באינטגרל מסוים נותן ערך מדויק של הנפח:

נבחר פונקציה $F(x)$ שגם היא פונקציה קדומה של $\pi f(x)^{2}$. קיבלנו $V(x)=F(x)+c$. כאשר $x=a$ נקבל שהנפח שווה ל0 ולכן:

$F(a)+c=0\Rightarrow c=-F(x)\Rightarrow V(x)=F(x)-F(a)$

כלומר הנפח בין הישרים $x=a$ ו$x=b$ לכל a וb שעבורם הפונקציה מוגדרת וגם האינטגרל מוגדר $(b>a)$, הוא: $V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}dx$.