מתמטיקה תיכונית/וקטורים/ישרים ומישורים במישור ובמרחב/המצב הדדי בין ישרים, מישורים ובין ישר למישור

עד כה התעסקנו במישורים ובישרים כשהם יישויות יחידות במרחב (או במישור), אך אם נסתכל במרחב על ישר ועל מישור או על שני מישורים, מה היחסים ביניהם? הם נחתכים? "מתנגשים"? מקבילים זה לזה? על כל השאלות האלו נענה בפרק הזה.

אנחנו נדבר על המשמעות של ישרים ומישורים מקבילים, וכיצד זה מתבטא בהצגות הפרמטריות שלהם, איך לדעת מהו בכלל המצב ההדדי בין שני מישורים, שני ישרים וישר ומישור. בנוסף על כך נדבר על מצב חדש, שעד כה לא הכרנו, שנקרא, "הצטלבות של ישרים" או על שני ישרים "מצטלבים".

המצב ההדדי בין שני ישרים

כידוע כבר מלימודי המתמטיקה בשנים קודמות, כאשר אנחנו מדברים על שני ישרים במישור המצב ההדדי שלהם יכול להיות שהם מתלכדים, נחתכים או מקבילים. בכל מקרה, אנו פותרים משוואות כדי לגלות איזה מצב מתרחש בהינתן שני ישרים. אך האם הדבר דומה כשמדובר במרחב? במרחב בעצם, קיים מצב נוסף.

פירוט המצבים ההדדיים האפשריים בין שני ישרים במרחב

ישרים מתלכדים

שני הישרים נמצאים אחד "בתוך" השני. כלומר, כל נקודה שעל הישר האחד נמצאת על הישר השני ולהפך. אפשר לומר גם, שהם בעצם אותו הישר.

ישרים נחתכים

אלו שני ישרים ש"נפגשו" באמצע הדרך. יש להם נקודה אחת בלבד משותפת (שנמצאת על שניהם).

ישרים מקבילים

ישרים אלו מייצגים שני קווים מקבילים, הם לא יחתכו לעולם, אין להם אף נקודה משותפת ומעבר לכך, וקטורי הכיוון שלהם מקבילים זה לזה (אפשר גם לומר, תלויים זה בזה).

ישרים מצטלבים

גם כאן, שני הישרים לעולם לא נחתכים אחד עם השני, אך יש מאפיין נוסף. וקטורי הכיוון לא מקבילים זה לזה, ובכלל, אין שום מישור שמכיל את שני הישרים האלו.

שימו לב: המצב של שני ישרים מצטלבים אפשרי במרחב בלבד! במישור לא קיים מצב הדדי שכזה.

כדאי לדעת: ההגדרה הפורמלית של "ישרים מצטלבים" היא "שני ישרים שלא קיים מישור במרחב, כך ששני הישרים נמצאים בתוך המישור". כלומר, לא קיים שום מישור במרחב שמכיל שני ישרים מצטלבים. אך זוהי הגדרה שמאוד קשה להשתמש בה בהוכחות וחישובים, ולכן, לעיתים אומרים שאלו שני ישרים שלא נחתכים ווקטורי הכיוון שלהם לא מקבילים זה לזה.

אתגר: קראו את ההארה למעלה בנוגע לשתי סוגי ההגדרות ונסו להוכיח שהן שקולות זו לזו.

מציאת המצב ההדדי בהינתן שתי הצגות פרמטריות

שימו לב: אם מדובר במישור ונתונות לנו משוואות של הישרים, או שאחד הישרים מוצג כמשוואת ישר, ניתן להמיר את אחד מהישרים לצורה של השני ולפתור (רצוי להמיר את ההצגה הפרמטרית למשוואת ישר כדי להקל על החישובים, אך זהו עניין של נוחות שמשתנה מאדם לאדם).

בהינתן שתי הצגות פרמטריות של ישרים, אנו מעוניינים למצוא את המצב ההדדי בין שני הישרים.

מה שנעשה, זה "נכווץ" את כל ההצגה הפרמטרית אל תוך נקודה אחת. כלומר, אנחנו נביע נקודה כללית על כל אחד מהישרים באמצעות הפרמטרים, ונשווה בין שתי הנקודות שנוצרו לנו, אנחנו נקבל שלוש משוואות בשני משתנים. כמות הפתרונות של מערכת המשוואות תגלה לנו את המצב ההדדי בצורה הבאה:

פתרון יחיד

הישרים נחתכים, נציב את אחד מהפרמטרים בהצגה המתאימה לו כדי לקבל את נקודת החיתוך (לא משנה איזה מהם נציב התוצאה תהיה זהה, לכן רצוי לבחור בהצבה הקלה יותר).

אינסוף פתרונות

במקרה הזה שתי ההצגות הפרמטריות מייצגות את אותו הישר, או במילים אחרות, הישרים מתלכדים.

אין פתרון

מצב זה הוא טיפה בעייתי. שכן כאן יש לנו שתי אפשרויות, הוקטורים מקבילים או מצטלבים. מה עושים? בודקים תלות של וקטורי הכיוון. כלומר, אם וקטורי הכיוון מקבילים, הישרים מקבילים, אם לא, הישרים מצטלבים.

כיוון שהטכניקה במילים בלבד עלולה להשמע מסובכת או לא מובנת, נדגים את השיטה באמצעות מספר דוגמאות.

דוגמאות

• מצאו את המצב ההדדי בין שני הישרים הבאים, בהינתן ההצגות הפרמטריות שלהם:

${\begin{matrix}l_{1}:&{\underline {x}}=(1,0,1)+t(2,1,-1)\\l_{2}:&{\underline {x}}=(1,2,-3)+s(3,-1,2)\end{matrix}}$

ניצור נקודה כללית על כל ישר, נקבל:

${\begin{matrix}(1+2t,t,1-t)\\(1+3s,2-s,-3+2s)\end{matrix}}$

נשווה בין שתי הנקודות, ונקבל את מערכת המשוואות:

${\begin{matrix}1+2t&=&1+3s\\t&=&2-s\\1-t&=&-3+2s\end{matrix}}$

נציב את t מהמשוואה השנייה במשוואה הראשונה, ונקבל את המשוואה:

${\begin{matrix}1+2(2-s)&=&1+3s\end{matrix}}$

לאחר פתירה של המשוואה עבור s, אנחנו מקבלים ש:

$s={\frac {4}{5}}$

נציב חזרה במשוואה השנייה במערכת כדי לגלות את t ונקבל:

$t=2-{\frac {4}{5}}={\frac {6}{5}}$

נציב את t וs במשוואה השלישית כדי לבדוק שאכן הפתרונות שמצאנו מתקיימים:

$1-{\frac {6}{5}}{\stackrel {?}{=}}-3+2\cdot {\frac {4}{5}}$

חישוב פשוט מראה שהמשוואה השלישית לא מתקיימת עבור הt והs שמצאנו, לכן אין פתרון למשוואות.

שימו לב: *אפילו אם מצאנו ערכים עבור t וs, אלו לא פתרונות! פתרונות של מערכת משוואות הם מספרים שמקיימים את כל המשוואות. סימן השאלה מעל סימן השווה במשוואה למעלה מציין שזהו אינו שוויון, אלא רק בדיקה אם שני הצדדים של המשוואה שווים או לא.

כעת אנחנו יודעים שהישרים הם מצטלבים או מקבילים, כפי שנכתב למעלה, מספיק לבדוק אם וקטורי הכיוון של הישרים הם תלויים זה בזה, כלומר,יש לבדוק אם קיים מספר ממשי כלשהו r, עבורו מתקיים:

${\begin{matrix}(2,1,-1)&=&r(3,-1,2)\end{matrix}}$

ננסה לפתור את המערכת של שלושת המשוואות שנוצרת לנו:

${\begin{matrix}2&=&3r\\1&=&-r\\-1&=&2r\end{matrix}}$

ברור שלמערכת אין פתרון, ולכן הוקטורים הם בלתי תלויים ולפיכך אנו יכולים לראות שהישרים הם ישרים מצטלבים.

המצב ההדדי בין ישר ומישור

נתחיל את ההסבר של החלק הזה עם דוגמה, ניקח עיפרון ודף נייר ונדמיין שהם ישר אינסופי ומישור אינסופי בהתאמה. כעת נסתכל על כל המצבים ההדדיים שיכולים לשרור בין שני אלו. אם נזיז אותם נכון, נוכל לראות שייתכן והישר והמישור יחתכו, ואכן, אחד המצבים ההדדיים בין ישר למישור הוא שהם נחתכים. אם נשים את העיפרון על הדף, הישר, כביכול, יהיה מונח לחלוטין בתוך המישור, כלומר הם מתלכדים. ואם הישר מונח בזווית הנכונה, ייתכן שהישר והמישור לא יחתכו לעולם, במקרה זה, הם מקבילים.

פירוט המצבים ההדדיים בין ישר למישור

נחתכים

הישר חותך את המישור בנקודה אחת יחידה. כלומר, לישר ולמישור יש נקודה משותפת.

מתלכדים

הישר "מוכל" כולו בתוך המישור. כלומר, כל נקודה על הישר נמצאת בתוך המישור.

מקבילים

הישר והמישור לעולם לא "נפגשים", אין שום נקודת חיתוך ביניהם.

כדאי לדעת: קל לראות שאם הישר מקביל או מתלכד עם המישור, זה אומר שוקטור הכיוון שלו תלוי בוקטורי הכיוון של המישור. עובדה זו יכולה להיות מאוד שימושית כשצריך למצוא את המצב ההדדי בין ישר למישור ובמיוחד כאשר רוצים לדעת אם הישר והמישור נחתכים.

מציאת מצב הדדי בין ישר למישור כאשר המישור נתון בהצגה פרמטרית

הטכניקה שמוצגת כאן מזכירה באופן רב מאוד את הטכניקה שהסברנו במציאת המצב ההדדי בין שני ישרים.

גם כאן, אנחנו נבנה נקודה כללית על הישר וכן על המישור, ונשווה ביניהן. אנחנו נקבל מערכת של שלוש משוואות בשלושה משתנים ונוכל לדעת את המצב ההדדי בעזרת מספר הפתרונות שיש למשוואות.

המצב ההדדי בהתאם למספר הפתרונות

אינסוף פתרונות

הישר מוכל בתוך המישור.

אין פתרון

הישר מקביל למישור.

יש פיתרון יחיד

הישר נחתך עם המישור, אם נציב את אחד המשתנים (או שניים, במקרה של מישור) חזרה בהצגה הפרמטרית שלו, אנחנו נקבל את נקודת החיתוך..

שוב, רצוי לקרוא את הדוגמאות הבאות כדי להבין באופן מלא כיצד הטכניקה עובדת.

דוגמאות

• מצא את המצב ההדדי בין הישר והמישור הבאים:

${\begin{matrix}\pi :&{\underline {x}}&=&(1,0,1)+t(2,-2,1)+s(1,1,1)\\l:&{\underline {x}}&=&(0,1,-1)+r(3,-1,6)\end{matrix}}$

ניצור נקודה כללית על המישור ועל הישר, בהתאמה:

${\begin{matrix}(1+2t+s,-2t+s,1+t+s)\\(3r,1-r,-1+6r)\end{matrix}}$

כעת נשווה בין שניהן ונקבל את מערכת המשוואות הבאה:

${\begin{matrix}1+2t+s&=&3r\\-2t+s&=&1-r\\1+t+s&=&-1+6r\end{matrix}}$

אתגר: השלם את הפיתרון של שלושת המשוואות למעלה לבדך ומצא את המצב ההדדי בין הישר והמישור.

מציאת המצב ההדדי בין ישר למישור כאשר המישור נתון בהצגה קרטזית (כמשוואה)

המקרה הזה הוא הקל ביותר והטכניקה פשוטה להבנה. ראשית ניצור נקודה כללית על הישר, ואותה נציב במשוואת המישור, לקוארדינטות המתאימות. כיוון שהנקודה הכללית מיוצגת באמצעות משתנה אחד בלבד, אנחנו נקבל משוואה במשתנה אחד שמאוד קל לפתור, לפי מספר הפתרונות למשואה הזו נוכל לקבוע את המצב ההדדי לפי הכללים הבאים:

יש פיתרון

הישר נחתך עם המישור, הצבה של הפרמטר מחדש בהצגה הפרמטרית תוביל אותנו לנקודת החיתוך של הישר והמישור.

אינסוף פתרונות

מקרה זה קורה כאשר מהמשוואה מתקבל ביטוי אמת (כמו 2=2 או 0=0 וכד'), במקרה זה, הישר מתלכד עם המישור.

אין פתרון

מקרה זה קורה כאשר במשוואה מתקבל ביטוי שקר (לדוגמא, 2=1 או 0=6 וכד'), במקרה זה, הישר מקביל למישור.

נסיים את ההסבר עם דוגמאות:

דוגמאות

• נתון הישר והמישור הבאים (בהתאמה), מצא את המצב ההדדי ביניהם.

${\begin{matrix}l:&{\underline {x}}=(1,0,1)+t(-1,2,-7)\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\pi :&2x-5y+z+12=0\end{matrix}}$

כעת נעבוד לפי הטכניקה, נרשום נקודה כללית על הישר:

${\begin{matrix}(1-t,2t,1-7t)\end{matrix}}$

ונציב את הקוארדינטות המתאימות בתוך משוואת המישור:

${\begin{matrix}2(1-t)-5(2t)+(1-7t)+12&=&0\end{matrix}}$

כעת נפתור את המשוואה, נקבץ איברים דומים ונקבל:

${\begin{matrix}-19t&=&-15\end{matrix}}$

לכן:

$t={\frac {15}{19}}$

כלומר, יש פתרון למשוואה, ולכן הישר נחתך עם המישור. כדי למצוא את נקודת החיתוך של הישר והמישור פשוט מציבים את הt שקיבלנו בהצגה הפרמטרית של הישר, במקרה שלנו נקודת החיתוך היא:

${\begin{matrix}(1-{\frac {15}{19}},{\frac {30}{19}},1-{\frac {105}{19}})&=&({\frac {4}{19}},{\frac {30}{19}},-{\frac {86}{19}})\end{matrix}}$

• מצא את המצב ההדדי של המישור והישר הבאים (בהתאמה):

${\begin{matrix}\pi :&3x+y+2z-6=0\end{matrix}}$

${\begin{matrix}l:&{\underline {x}}=(0,0,3)+r(2,2,-4)\end{matrix}}$

שוב, נעבוד לפי הטכניקה, נבטא את הישר כנקודה כללית עליו באמצעות הפרמטר r, כך:

${\begin{matrix}(2r,2r,3-4r)\end{matrix}}$

כעת נציב את הקוארדינטות המתאימות של הנקודה הכללית במשוואת מישור:

${\begin{matrix}3(2r)+(2r)+2(3-4r)-6&=&0\end{matrix}}$

נפתור את המשוואה הנ"ל עבור r:

${\begin{matrix}6r+2r+6-8r-6&=&0\end{matrix}}$

אבל אחרי קיבוץ איברים דומים אנחנו מקבלים את התוצאה המפתיעה:

${\begin{matrix}0&=&0\end{matrix}}$

אבל 0 באמת שווה ל-0, כלומר, קיבלנו פסוק אמת שלא תלוי בפרמטר שלנו r בכלל. לכן, ניתן לומר שהישר מוכל במישור.

כדאי לדעת: הסיבה לכך שפסוק אמת הוביל אותנו למסקנה שהישר מוכל במישור היא, שבאופן כללי, בטכניקה הזאת אנחנו מנסים למצוא ערך של הפרמטר עבורו נקודה על הישר נמצאת על המישור. כאשר הישרים נחתכים הפרמטר אכן נמצא ואנחנו מקבלים נקודת חיתוך, אבל כאשר הישר מוכל במישור כל נקודה על הישר נמצאת במישור, ולכן המשוואה מתקיימת לכל r.

• מצא את המצב ההדדי של המישור והישר הבאים:

${\begin{matrix}\pi :&-5x+10y+2z=10\end{matrix}}$

${\begin{matrix}l:&{\underline {x}}=(2,1,3)+n(0,1,-5)\end{matrix}}$

כמו בפעמים הקודמות, שוב, נפעל לפי הטכניקה. נייצג נקודה כללית על הישר:

${\begin{matrix}(2,1+n,3-5n)\end{matrix}}$

כעת נציב את הקוארדינטות המתאימות של הנקודה הכללית במשוואת המישור:

${\begin{matrix}-5(2)+10(1+n)+2(3-5n)=10\end{matrix}}$

נפתח סוגריים, ונקבל את הביטוי:

${\begin{matrix}-10+10+10n+6-10n&=&10\end{matrix}}$

אחרי כינוס איברים דומים, אנחנו מקבלים להפתענו את התוצאה הבאה:

${\begin{matrix}6&=&10\end{matrix}}$

כיוון ש-6 לא שווה ל-10 ושום n שנציב לא ישנה את זה, קיבלנו פסוק שקר. כלומר, הישר מקביל למישור.

המצב ההדדי בין שני מישורים

כדי להבין היטב את המצבים ההדדיים בין מישורים ואת הטכניקות השונות לאבחנתם, יש ראשית לראות למה בעצם מתכוונים כאשר מדברים על שני מישורים במרחב. מפרק ההדגמה כבר ידוע לנו שמישור הוא משטח ישר ואינסופי, ממש כאילו לקחנו את הריצפה או קיר ישר והמשכנו אותם כך שהם היו אינסופיים. נסתכל על התיקרה והריצפה של החדר בו אנחנו נמצאים (אנו מניחים שרצפת החדר ותקרת החדר הם משטחים ישרים) אם נדמיין שהריצפה והתיקרה נמשכים עד אינסוף, קל לראות שכנראה, לא תהיה להם אף נקודה שמשותפת לשניהם. כאשר קורה מקרה כזה המישורים מוגדרים כמקבילים.

אך אם נסתכל על אחד הקירות ועל הריצפה? ברור שיש להם נקודה משותפת, בעצם, יש להם אינסוף נקודות משותפות. המישור שהקיר שלנו מוכל בו והמישור שהריצפה שלנו מוכלת בו נחתכים, אבל בניגוד למה שקרה במקרים הקודמים, הם לא נחתכים בנקודה אחת, אלא באינסוף נקודות. אם נבחן את אותן נקודות שבהן המישורים נחתכים, נגלה שבעצם קיבלנו ישר. כלומר, כאשר שני מישורים נחתכים, הם נחתכים בישר, ישר זה נקרא ישר החיתוך של שני המישורים, כל נקודה על הישר הנ"ל, נמצאת על שני המישורים, וכל נקודה שנמצאת על שני המישורים, נמצאת על הישר.

ראה גם

• מצבים ההדדים בין ישרים במישור