מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/מקומות גיאומטריים

המקום הגיאומטרי הוא אוסף של כל הנקודות להן תכונה מסוימת. כלומר, כל נקודה הנמצאת על המקום הגיאומטרי מקיימת את התכונה המסוימת, ולהיפך-כל נקודה המקיימת את התכונה המסוימת נמצאת על המקום הגיאומטרי.

דוגמה 1:

מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות המרוחקות מרחק שווה מהנקודה (3,5) ומנקודה (1-,3)?

נסמן ב-(x,y) נקודה כלשהי הנמצאת על המקום הגיאומטרי המבוקש. ולכן:${\sqrt {(3-x)^{2}+(5-y)^{2}}}={\sqrt {(3-x)^{2}+(-1-y)^{2}}}$

$(3-x)^{2}+(5-y)^{2}=(3-x)^{2}+(-1-y)^{2}$

$25-10y+y^{2}=1+2y+y^{2}$

$12y=24$ אז משוואת המקום הגיאומטרי היא קו ישר המקביל לציר ה-X שמשוואתו: y=2.

דוגמה 2:

מצא את משוואת המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהישר $y=3$ שווה לאורך המשיק מהן למעגל $x^{2}+y^{2}-2y+1=4$.

נמצא את מרכז המעגל ורדיוסו:

$x^{2}+y^{2}-2y+1=4$

$\Downarrow$

$x^{2}+(y-1)^{2}=2^{2}$

ולכן המרכז הוא $(0,1)$ והרדיוס הוא 2.

לפי זה המרחק של נקודה כלשהי ממרכז המעגל הוא $d={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2y+1}}$ ואורך המשיק למעגל הוא $\ell ={\sqrt {d^{2}-R^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2y+1-4}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2y-3}}$.

המרחק מהישר הוא: $y-3$

נשווה את המרחקים:

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-2y-3}}=y-3$

נעלה בריבוע:

$x^{2}+y^{2}-2y-3=y^{2}-6y+9$

נעביר אגפים:

$x^{2}+4y-12=0$

כלומר $y=-{\frac {x^{2}}{4}}+3$ וזוהי משוואת פרבולה.