מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הפרבולה/משוואת הפרבולה הקנונית

משוואתה הכללית של פרבולה קנונית שמוקדה $F(p,0)$ והמדריך שלה הוא $x=-p$ הנה: $y^2=4px$ .

הוכחה

פרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה נתונה (מוקד - focus) ומישר נתון (מדריך- diretrix) שווה.

$(x,y)$ נקודה על הפרבולה.

נמצא את מרחק הנקודה מהמדריך: $d=x-(-p)=x+p$

נמצא את מרחק הנקודה מהמוקד: $d=\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}$

מאחר ששני הרדיוסים שווים זה לזה, נשווה ביניהם: $x+p=\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}$

נעלה בריבוע: $(x+p{)}^2=(x-p{)}^2+y^2$

נפתח, $x^2+2px+p^2=x^2-2px+p^2+y^2$

מכאן $y^2=4px$