מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הפרבולה/משוואת הפרבולה הקנונית

משוואתה הכללית של פרבולה קנונית שמוקדה $F(p,0)$ והמדריך שלה הוא $x=-p$ הנה: $y^{2}=4px$ .

הוכחה

פרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה נתונה (מוקד - focus) ומישר נתון (מדריך- diretrix) שווה.

$(x,y)$ נקודה על הפרבולה.

נמצא את מרחק הנקודה מהמדריך: $d=x-(-p)=x+p$

נמצא את מרחק הנקודה מהמוקד: $d={\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}$

מאחר ששני הרדיוסים שווים זה לזה, נשווה ביניהם: $x+p={\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}$

נעלה בריבוע: $(x+p)^{2}=(x-p)^{2}+y^{2}$

נפתח, $x^{2}+2px+p^{2}=x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}$

מכאן $y^{2}=4px$