מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/הנקודה/מרחק בין שתי נקודות

המרחק בין שתי נקודות

בפרק זה של הנדסה אנליטית נמצא כיצד לגלות את המרחק בין שתי נקודות, כלומר האורך של הקטע שהן יוצרות.

הנוסחה

נוסחה המייצגת מרחק בין 2 הנקודות $\ (x_{1},y_{1})$ ו$\ (x_{2},y_{2})$ היא: $d={\sqrt {{(x_{1}-x_{2})}^{2}+{(y_{1}-y_{2})}^{2}}}$ . זכרו - כאשר מעלים את המשוואה בריבוע, יש להציב את הפתרונות המתקבלים במשוואה המקורית ולבדוק האם מתקבל פסוק אמת!

הדגמה

$A(5,12)$
$B(8,2)$
$d_{AB}={\sqrt {(5-8)^{2}+(12-2)^{2}}}$
$d_{AB}={\sqrt {(-3)^{2}+(10)^{2}}}$
$d_{AB}={\sqrt {9+100}}={\sqrt {109}}$
כך ניתן לראות שהמרחק בין נקודה $A$ לנקודה $B$ הנו ${\sqrt {109}}\approx 10.44$.

הוכחת הנוסחה

נשרטט באופן כללי שתי נקודות, ונשלים מהן משולש ישר זוית, כפי שמתואר בשרטוט:

הנקודות שיוצרות את הישר בשרטוט הן $\ (x_{1},y_{1})$ ו$\ (x_{2},y_{2})$.

נשלים אותן למשולש ישר זוית, שניצביו מקבילים לצירים. את הניצב המקביל לציר הY ניתן לכנות כ$\ y_{2}-y_{1}$, משום שאם ניקח את ערך Y₂ נקבל את הגובה מציר הX לנקודה, וכשא נוריד ממנה את המרחק מציר הX לY₁ נקבל את הניצב המקביל לציר הY. באופן דומה נעשה גם עם ציר הX, ונקבל שהניצב המקביל לציר הX הוא $\ x_{2}-x_{1}$ .

לפי משפט פיתגורס, סכום שני הניצבים במשולש שווה לסכום היתר בריבוע. לפיכך נבנה לנו משוואה, כשהיתר תסומן בd, כלומר המרחק אותו נרצה למדוד:

$\ d^{2}={(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(x_{2}-x_{1})}^{2}$

כאשר נוציא שורש נקבל:

$d={\sqrt {{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}$

וזוהי בעצם הנוסחה.

דרך נוספת לפעילותה של נוסחת המרחק היא -חיסור ערכי הנקודות - ברגע שאנו מחסרים את ערכי X ואת ערכי Y בהתאמה, ומתייחסים לערך המוחלט, אנו מקבלים נקודה על הגרף, שמציינת ראדיוס ווקטור - שבעצם מרחקה של הנקודה מראשית הצירים - שווה למרחק 2 הנקודות שאנו בודקים את המרחק בינהן. ולאחר מכן, שורש של חיבור ערכם המוחלט בריבוע - יתן את המרחק (חישוב מרחק וקטורי בעל 2 קוארדינטות).