מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ההיפרבולה/משיק להיפרבולה

ניתן למצוא את משוואתו של משיק להיפרבולה בנקודה $(x_{1},y_{1})$ באמצעות גזירה.

משיק להיפרבולה הקנונית

נגזור את משוואת ההיפרבולה הקנונית גזירה סתומה:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

נגזור:

${\frac {2x}{a^{2}}}-2y\cdot {\frac {y'}{b^{2}}}=0$

נקבל:

$y'={\frac {b^{2}x}{a^{2}y}}$

נשתמש בנוסחה למציאת ישר באמצעות נקודה ושיפוע:

$y-y_{1}={\frac {b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}}x-{\frac {b^{2}x_{1}^{2}}{a^{2}y_{1}}}$

נכפיל ב${\frac {y_{1}}{b^{2}}}$:

${\frac {y_{1}}{b^{2}}}y-{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}={\frac {x_{1}}{a^{2}}}x-{\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}$

נעביר אגפים ונשתמש בכך ש${\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}}=1$:

${\frac {x_{1}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1$.

קיבלנו את משוואת המשיק להיפרבולה הקנונית בנקודה $(x_{1},y_{1})$ שעליה.

אם נרצה לחשב את המשיק באמצעות שימוש בפרמטר $x_{1}$ בלבד (ללא $y_{1}$) נשתמש בנוסחה $y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$. נגזור:

$y'=\pm {\frac {b}{a}}{\frac {2x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

$y\mp {\frac {b}{a}}{\sqrt {x_{1}^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {2b}{a}}{\frac {x_{1}x-x_{1}^{2}}{\sqrt {x_{1}^{2}-a^{2}}}}$

$y\mp {\frac {b}{a}}{\sqrt {x_{1}^{2}-a^{2}}}\mp {\frac {2b}{a}}{\frac {x_{1}x-x_{1}^{2}}{\sqrt {x_{1}^{2}-a^{2}}}}=0$

נעשה שימוש בנוסחה זו כדי לחשב את האסימפטוטות.