מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ההיפרבולה/משוואת ההיפרבולה

ההיפרבולה הקנונית

משוואת ההיפרבולה הקנונית על פי ההגדרה הראשונה

נשתמש בהגדרה הראשונה: ההיפרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהערך המוחלט של הפרש המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות (המוקדים) הוא קבוע.

בהיפרבולה הקנונית המוקדים על ציר הx ומרכזה הוא ראשית הצירים.

נסמן את המיקומים של המוקדים ב$F_{1}(-p,0)$ ו$F_{1}(p,0)$. נקבל:

$\left|{\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+p)^{2}+y^{2}}}\right|=2a$

נעלה בריבוע:

$(x-p)^{2}+y^{2}+(x+p)^{2}+y^{2}-2{\sqrt {\left[(x-p)^{2}+y^{2}\right]\left[(x+p)^{2}+y^{2}\right]}}=4a^{2}$

$\Downarrow$

$2x^{2}+2p^{2}+2y^{2}-4a^{2}=2{\sqrt {\left[(x-p)^{2}+y^{2}\right]\left[(x+p)^{2}+y^{2}\right]}}=2{\sqrt {x^{4}-2p^{2}x^{2}+p^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2p^{2}y^{2}}}$

נעלה בריבוע שוב:

$4x^{4}+4p^{4}+4y^{4}+16a^{4}+8x^{2}p^{2}+8x^{2}y^{2}-16x^{2}a^{2}+8y^{2}p^{2}-16p^{2}a^{2}-16y^{2}a^{2}=4x^{4}-8p^{2}x^{2}+4p^{4}+4y^{4}+8x^{2}y^{2}+8p^{2}y^{2}$

נצמצם:

$a^{4}+x^{2}p^{2}-x^{2}a^{2}-p^{2}a^{2}=y^{2}a^{2}$

נכנס איברים דומים:

$(p^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=p^{2}a^{2}-a^{4}$

נחלק באגף ימין:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{p^{2}-a^{2}}}=1$

נציב $p^{2}-a^{2}=b^{2}$

נקבל:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

משוואת ההיפרבולה הקנונית על פי ההגדרה השנייה

נשתמש בהגדרה השנייה: ההיפרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהיחס (אקסצנטריות) בין מרחק מנקודה קבועה (מוקד) למרחקן מישר קבוע (מדריך) הוא קבוע, בתנאי שהקבוע הנ"ל גדול מאחד.

נתחיל מהמקרה בו קודקוד ההיפרבולה (הסמוך למוקד שבו בוחרים) הוא בראשית הצירים, ונעבור להיפרבולה הקנונית:

נגדיר את קבוע האקסצנטריות ב$e$, ואת המוקד ב$F(p,0)$. מרחק הקודקוד מהמוקד הוא $p$ ולכן מרחק הקודקוד מהמדריך צריך להיות ${\frac {p}{e}}$, כלומר המדריך צריך להיות $x=-{\frac {p}{e}}$. נקבל:

${\frac {\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}{x+{\frac {p}{e}}}}=e$

$\Downarrow$

$ex+p={\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}$

נעלה בריבוע:

$e^{2}x^{2}+2epx+p^{2}=x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}$

נכנס איברים דומים:

$2(1+e)px-y^{2}+(e^{2}-1)x^{2}=0$

כעת נמצא את הקודקוד השני (באמצעות השוואת y ל0):

$2(1+e)px+(e^{2}-1)x^{2}=0$

נוציא גורם משותף:

$x(e^{2}x-x+2p+2pe)=0$

נקבל שני פיתרונות:

1. $x=0$
2. $x=-{\frac {2p+2pe}{e^{2}-1}}=-{\frac {2p(e+1)}{(e-1)(e+1)}}=-{\frac {2p}{e-1}}$

הפיתרון הראשון הוא הקודקוד הראשון, והשני הוא הקודקוד שרצינו למצוא. כעת נחלק את ערך הקודקוד השני בשתיים ונקבל את ערך המרכז (שהוא אמצע הקטע שבין הקודקודים): $x=-{\frac {p}{e-1}}$

נעביר את המרכז לראשית הצירים באמצעות הטרנספורמציה $(x,y)\mapsto (x-{\frac {p}{e-1}},y)$:

$2(1+e)p(x-{\frac {p}{e-1}})-y^{2}+(e^{2}-1)(x-{\frac {p}{e-1}})^{2}=0$

$\Downarrow$

$2px(e+1)-{\frac {2p^{2}(e+1)}{e-1}}-y^{2}+(e^{2}-1)x^{2}-{\frac {2px(e-1)(e+1)}{e-1}}+{\frac {p^{2}(e-1)(e+1)}{(e-1)^{2}}}=0$

נעביר אגפים:

$(e-1)(e+1)x^{2}-y^{2}={\frac {(2p^{2}-p^{2})(e+1)}{e-1}}={\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}$

נחלק ב${\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}$:

${\frac {(e-1)^{2}x^{2}}{p^{2}}}-{\frac {(e-1)y^{2}}{p^{2}(e+1)}}=1$

נסמן:

• ${\frac {p^{2}}{(e-1)^{2}}}=a^{2}$
• ${\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}=b^{2}$ (הביטוי חיובי כי על פי ההגדרה $e>1$)

נקבל שוב:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$.

משוואת ההיפרבולה על פי ההגדרה השלישית

נשתמש בהגדרה השלישית: ההיפרבולה היא חתך החרוט המתקבל כאשר הזוית בין המישור החותך לציר החרוט קטנה מהזוית בין הקו היוצר לציר החרוט.

אפולוניוס מפרגה מביא הוכחה המבוססת על משפט 35 בספר השלישי של ה-"יסודות" של אוקלידס. משפט זה קובע תכונה חשובה של שני מיתרים במעגל שנחתכים: "מכפלת הקטעים שמקצה המיתר האחד על השני שווה למכפלת הקטעים שמקצה המיתר השני על הראשון". תכונה זו מועילה מאוד בניתוח העקומים נחתכים מחרוט על ידי מישור. אם נעזר במעט דמיון מרחבי, נבחין שאם נסתכל על החרוט כאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, אז ניתן להיעזר במשפט כדי להסיק באופן מקומי דברים על קו החיתוך של פרוסה מעגלית כזאת עם המישור. נבחר נקודה כללית $D$, כשהנקודות שבמישור שלה משתנות איתה, ונקודות קבועות $V,K$ (כאשר כשנעבור לצירי $x,y$ הנקודה $V$ תשמש כראשית הצירים). כיוון שהעקום הנחתך סימטרי, נקבל כי $MD^{2}=BM\cdot MC$. מכיוון שהיחס בין $BM$ ל $VM$ הוא ישר, והיחס בין $MC$ ל $VM$ הוא לינארי (בתוספת $VK$), נסמן $BM=\alpha VM\ ,\ MC=VK+\beta VM\ \ (\alpha ,\beta >0)$ ונקבל $MD^{2}=\alpha VM\cdot (VK+\beta VM)=\alpha VM\cdot VK+\alpha \beta VM^{2}$. נציב $VM'=\left(VM+{\frac {VK}{2\alpha }}\right)$ ונקבל: $\alpha \cdot VM'^{2}-(1/\beta )MD^{2}=VK^{2}/4\alpha$, כאשר הפעולה של החלפה בין $VM$ ל- $VM'$ משמעותה בעצם הצבת ראשית הצירים ($V$) במרכז ההיפרבולה במקום בקודקוד שלה.

כעת במעבר למשתנים $x,y$ נקבל כי $\beta x^{2}-{\frac {y^{2}}{\alpha }}={\frac {VK^{2}}{4\beta }}$. נחלק באגף ימין ונקבל ${\frac {4\alpha \beta x^{2}}{VK^{2}}}-=1$. מכיוון שהקבועים $\alpha ,\beta ,VK$ כולם חיוביים, נוכל להגדיר:

• ${\frac {VK^{2}}{4\alpha \beta }}=a^{2}$
• ${\frac {\beta VK^{2}}{4\beta y^{2}}}=b^{2}$

ונקבל שוב:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

למעשה בנוסף לכך שמצאנו את משוואת ההיפרבולה הוכחנו גם כי כל שלושת ההגדרות מתייחסות לאותה צורה.

אם נציב את $a=b=1$ נקבל את היפרבולת היחידה: $x^{2}-y^{2}=1$.

ההיפרבולה הכללית

נתחיל במקרה שבו מרכז ההיפרבולה בראשית הצירים ונגדיר את מוקדיה כ $F_{1}(-x_{1},-y_{1})\ \ ,\ \ F_{2}(x_{1},y_{1})$. נחשב:

$\left|{\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}-{\sqrt {(x+x_{1})^{2}+(y+y_{1})^{2}}}\right|=2h$

נעלה בריבוע:

$2x^{2}+2x_{1}^{2}+2y^{2}+2y_{1}^{2}-2{\sqrt {\left[(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}\right]\left[(x+x_{1})^{2}+(y+y_{1})^{2}\right]}}=4h^{2}$

$\Downarrow$

$2x^{2}+2x_{1}^{2}+2y^{2}+2y_{1}^{2}-4h^{2}=2{\sqrt {(x^{2}-x_{1}^{2})^{2}+(y^{2}-y_{1}^{2})^{2}+(x^{2}-2xx_{1}+x_{1}^{2})(y^{2}+2yy_{1}+y_{1}^{2})+(x^{2}+2xx_{1}+x_{1}^{2})(y^{2}-2yy_{1}+y_{1}^{2})}}$

נעלה שוב בריבוע:

$4x^{4}+4x_{1}^{4}+4y^{4}+4y_{1}^{4}+16h^{4}+8x^{2}x_{1}^{2}+8x^{2}y^{2}+8x^{2}y_{1}^{2}-16x^{2}h^{2}+8x_{1}^{2}y^{2}+8x_{1}^{2}y_{1}^{2}-16x_{1}^{2}h^{2}+8y^{2}y_{1}^{2}-16y^{2}h^{2}-16y_{1}^{2}h^{2}=$

$=4x^{4}-8x^{2}x_{1}^{2}+4x_{1}^{4}+4y^{4}-8y^{2}y_{1}^{2}+4y_{1}^{4}+8x^{2}y^{2}-32xx_{1}yy_{1}+8x_{1}^{2}y_{1}^{2}+8x^{2}y_{1}^{2}+8x_{1}^{2}y^{2}$

נצמצם:

$16h^{4}+16x^{2}x_{1}^{2}-16x^{2}h^{2}-16x_{1}^{2}h^{2}+16y^{2}y_{1}^{2}-16y^{2}h^{2}-16y_{1}^{2}h^{2}=-32xx_{1}yy_{1}$

נחלק ב16:

$h^{4}+x^{2}x_{1}^{2}-x^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y^{2}y_{1}^{2}-y^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}=-2xx_{1}yy_{1}$

במקרה שבו מרכז ההיפרבולה הוא בנקודה $(x_{0},y_{0})$, נקבל:

$h^{4}+x^{2}x_{1}^{2}-2xx_{0}x_{1}^{2}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x^{2}h^{2}+2xx_{0}h^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y^{2}y_{1}^{2}-2yy_{0}y_{1}^{2}+y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y^{2}h^{2}+2yy_{0}h^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}=$

$=-2xyx_{1}y_{1}+2xy_{0}x_{1}y_{1}+2x_{0}yx_{1}y_{1}-2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}$

נצמצם:

$(x_{1}^{2}-h^{2})x^{2}+(2x_{0}h^{2}-2x_{0}x_{1}^{2}-2y_{0}x_{1}y_{1})x+(y_{1}^{2}-h^{2})y^{2}+(2y_{0}h^{2}-2y_{0}y_{1}^{2}-2x_{0}x_{1}y_{1})y+2x_{1}y_{1}xy+h^{4}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+$

$+y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}+2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}=0$

נציב:

• $x_{1}^{2}-h^{2}=a$
• $2x_{0}h^{2}-2x_{0}x_{1}^{2}-2y_{0}x_{1}y_{1}=b$
• $y_{1}^{2}-h^{2}=c$
• $2y_{0}h^{2}-2y_{0}y_{1}^{2}-2x_{0}x_{1}y_{1}=d$
• $2x_{1}y_{1}=e$
• $h^{4}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}+2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}=f$

נקבל את המשוואה הכללית של היפרבולה:

$ax^{2}+bx+cy^{2}+dy+exy+f=0$ אם נציב $a=b=c=d=0\ \ ,\ \ e=1\ \ ,\ \ f=-1$ נקבל את ההיפרבולה המפורסמת $y={\frac {1}{x}}$, שהיא הנגזרת של פונקצית הלוגריתם הטבעי $\ln$.