משוואת ההיפרבולה הקנונית על פי ההגדרה הראשונה[ עריכה ]
נשתמש בהגדרה הראשונה: ההיפרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהערך המוחלט של הפרש המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות (המוקדים) הוא קבוע .
בהיפרבולה הקנונית המוקדים על ציר הx ומרכזה הוא ראשית הצירים.
נסמן את המיקומים של המוקדים ב
F
1
(
−
p
,
0
)
{\displaystyle F_{1}(-p,0)}
ו
F
1
(
p
,
0
)
{\displaystyle F_{1}(p,0)}
. נקבל:
|
(
x
−
p
)
2
+
y
2
−
(
x
+
p
)
2
+
y
2
|
=
2
a
{\displaystyle \left|{\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+p)^{2}+y^{2}}}\right|=2a}
נעלה בריבוע:
(
x
−
p
)
2
+
y
2
+
(
x
+
p
)
2
+
y
2
−
2
[
(
x
−
p
)
2
+
y
2
]
[
(
x
+
p
)
2
+
y
2
]
=
4
a
2
{\displaystyle (x-p)^{2}+y^{2}+(x+p)^{2}+y^{2}-2{\sqrt {\left[(x-p)^{2}+y^{2}\right]\left[(x+p)^{2}+y^{2}\right]}}=4a^{2}}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
2
x
2
+
2
p
2
+
2
y
2
−
4
a
2
=
2
[
(
x
−
p
)
2
+
y
2
]
[
(
x
+
p
)
2
+
y
2
]
=
2
x
4
−
2
p
2
x
2
+
p
4
+
y
4
+
2
x
2
y
2
+
2
p
2
y
2
{\displaystyle 2x^{2}+2p^{2}+2y^{2}-4a^{2}=2{\sqrt {\left[(x-p)^{2}+y^{2}\right]\left[(x+p)^{2}+y^{2}\right]}}=2{\sqrt {x^{4}-2p^{2}x^{2}+p^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+2p^{2}y^{2}}}}
נעלה בריבוע שוב:
4
x
4
+
4
p
4
+
4
y
4
+
16
a
4
+
8
x
2
p
2
+
8
x
2
y
2
−
16
x
2
a
2
+
8
y
2
p
2
−
16
p
2
a
2
−
16
y
2
a
2
=
4
x
4
−
8
p
2
x
2
+
4
p
4
+
4
y
4
+
8
x
2
y
2
+
8
p
2
y
2
{\displaystyle 4x^{4}+4p^{4}+4y^{4}+16a^{4}+8x^{2}p^{2}+8x^{2}y^{2}-16x^{2}a^{2}+8y^{2}p^{2}-16p^{2}a^{2}-16y^{2}a^{2}=4x^{4}-8p^{2}x^{2}+4p^{4}+4y^{4}+8x^{2}y^{2}+8p^{2}y^{2}}
נצמצם:
a
4
+
x
2
p
2
−
x
2
a
2
−
p
2
a
2
=
y
2
a
2
{\displaystyle a^{4}+x^{2}p^{2}-x^{2}a^{2}-p^{2}a^{2}=y^{2}a^{2}}
נכנס איברים דומים:
(
p
2
−
a
2
)
x
2
−
a
2
y
2
=
p
2
a
2
−
a
4
{\displaystyle (p^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=p^{2}a^{2}-a^{4}}
נחלק באגף ימין:
x
2
a
2
−
y
2
p
2
−
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{p^{2}-a^{2}}}=1}
נציב
p
2
−
a
2
=
b
2
{\displaystyle p^{2}-a^{2}=b^{2}}
נקבל:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
משוואת ההיפרבולה הקנונית על פי ההגדרה השנייה[ עריכה ]
נשתמש בהגדרה השנייה: ההיפרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהיחס (אקסצנטריות) בין מרחק מנקודה קבועה (מוקד) למרחקן מישר קבוע (מדריך) הוא קבוע, בתנאי שהקבוע הנ"ל גדול מאחד .
נתחיל מהמקרה בו קודקוד ההיפרבולה (הסמוך למוקד שבו בוחרים) הוא בראשית הצירים, ונעבור להיפרבולה הקנונית:
נגדיר את קבוע האקסצנטריות ב
e
{\displaystyle e}
, ואת המוקד ב
F
(
p
,
0
)
{\displaystyle F(p,0)}
. מרחק הקודקוד מהמוקד הוא
p
{\displaystyle p}
ולכן מרחק הקודקוד מהמדריך צריך להיות
p
e
{\displaystyle {\frac {p}{e}}}
, כלומר המדריך צריך להיות
x
=
−
p
e
{\displaystyle x=-{\frac {p}{e}}}
. נקבל:
(
x
−
p
)
2
+
y
2
x
+
p
e
=
e
{\displaystyle {\frac {\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}{x+{\frac {p}{e}}}}=e}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
e
x
+
p
=
(
x
−
p
)
2
+
y
2
{\displaystyle ex+p={\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}}
נעלה בריבוע:
e
2
x
2
+
2
e
p
x
+
p
2
=
x
2
−
2
p
x
+
p
2
+
y
2
{\displaystyle e^{2}x^{2}+2epx+p^{2}=x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}}
נכנס איברים דומים:
2
(
1
+
e
)
p
x
−
y
2
+
(
e
2
−
1
)
x
2
=
0
{\displaystyle 2(1+e)px-y^{2}+(e^{2}-1)x^{2}=0}
כעת נמצא את הקודקוד השני (באמצעות השוואת y ל0):
2
(
1
+
e
)
p
x
+
(
e
2
−
1
)
x
2
=
0
{\displaystyle 2(1+e)px+(e^{2}-1)x^{2}=0}
נוציא גורם משותף:
x
(
e
2
x
−
x
+
2
p
+
2
p
e
)
=
0
{\displaystyle x(e^{2}x-x+2p+2pe)=0}
נקבל שני פיתרונות:
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
−
2
p
+
2
p
e
e
2
−
1
=
−
2
p
(
e
+
1
)
(
e
−
1
)
(
e
+
1
)
=
−
2
p
e
−
1
{\displaystyle x=-{\frac {2p+2pe}{e^{2}-1}}=-{\frac {2p(e+1)}{(e-1)(e+1)}}=-{\frac {2p}{e-1}}}
הפיתרון הראשון הוא הקודקוד הראשון, והשני הוא הקודקוד שרצינו למצוא. כעת נחלק את ערך הקודקוד השני בשתיים ונקבל את ערך המרכז (שהוא אמצע הקטע שבין הקודקודים):
x
=
−
p
e
−
1
{\displaystyle x=-{\frac {p}{e-1}}}
נעביר את המרכז לראשית הצירים באמצעות הטרנספורמציה
(
x
,
y
)
↦
(
x
−
p
e
−
1
,
y
)
{\displaystyle (x,y)\mapsto (x-{\frac {p}{e-1}},y)}
:
2
(
1
+
e
)
p
(
x
−
p
e
−
1
)
−
y
2
+
(
e
2
−
1
)
(
x
−
p
e
−
1
)
2
=
0
{\displaystyle 2(1+e)p(x-{\frac {p}{e-1}})-y^{2}+(e^{2}-1)(x-{\frac {p}{e-1}})^{2}=0}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
2
p
x
(
e
+
1
)
−
2
p
2
(
e
+
1
)
e
−
1
−
y
2
+
(
e
2
−
1
)
x
2
−
2
p
x
(
e
−
1
)
(
e
+
1
)
e
−
1
+
p
2
(
e
−
1
)
(
e
+
1
)
(
e
−
1
)
2
=
0
{\displaystyle 2px(e+1)-{\frac {2p^{2}(e+1)}{e-1}}-y^{2}+(e^{2}-1)x^{2}-{\frac {2px(e-1)(e+1)}{e-1}}+{\frac {p^{2}(e-1)(e+1)}{(e-1)^{2}}}=0}
נעביר אגפים:
(
e
−
1
)
(
e
+
1
)
x
2
−
y
2
=
(
2
p
2
−
p
2
)
(
e
+
1
)
e
−
1
=
p
2
(
e
+
1
)
e
−
1
{\displaystyle (e-1)(e+1)x^{2}-y^{2}={\frac {(2p^{2}-p^{2})(e+1)}{e-1}}={\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}}
נחלק ב
p
2
(
e
+
1
)
e
−
1
{\displaystyle {\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}}
:
(
e
−
1
)
2
x
2
p
2
−
(
e
−
1
)
y
2
p
2
(
e
+
1
)
=
1
{\displaystyle {\frac {(e-1)^{2}x^{2}}{p^{2}}}-{\frac {(e-1)y^{2}}{p^{2}(e+1)}}=1}
נסמן:
p
2
(
e
−
1
)
2
=
a
2
{\displaystyle {\frac {p^{2}}{(e-1)^{2}}}=a^{2}}
p
2
(
e
+
1
)
e
−
1
=
b
2
{\displaystyle {\frac {p^{2}(e+1)}{e-1}}=b^{2}}
(הביטוי חיובי כי על פי ההגדרה
e
>
1
{\displaystyle e>1}
)
נקבל שוב:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
.
משוואת ההיפרבולה על פי ההגדרה השלישית[ עריכה ]
נשתמש בהגדרה השלישית: ההיפרבולה היא חתך החרוט המתקבל כאשר הזוית בין המישור החותך לציר החרוט קטנה מהזוית בין הקו היוצר לציר החרוט.
אפולוניוס מפרגה מביא הוכחה המבוססת על משפט 35 בספר השלישי של ה-"יסודות" של אוקלידס. משפט זה קובע תכונה חשובה של שני מיתרים במעגל שנחתכים: "מכפלת הקטעים שמקצה המיתר האחד על השני שווה למכפלת הקטעים שמקצה המיתר השני על הראשון". תכונה זו מועילה מאוד בניתוח העקומים נחתכים מחרוט על ידי מישור. אם נעזר במעט דמיון מרחבי, נבחין שאם נסתכל על החרוט כאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, אז ניתן להיעזר במשפט כדי להסיק באופן מקומי דברים על קו החיתוך של פרוסה מעגלית כזאת עם המישור. נבחר נקודה כללית
D
{\displaystyle D}
, כשהנקודות שבמישור שלה משתנות איתה, ונקודות קבועות
V
,
K
{\displaystyle V,K}
(כאשר כשנעבור לצירי
x
,
y
{\displaystyle x,y}
הנקודה
V
{\displaystyle V}
תשמש כראשית הצירים). כיוון שהעקום הנחתך סימטרי, נקבל כי
M
D
2
=
B
M
⋅
M
C
{\displaystyle MD^{2}=BM\cdot MC}
. מכיוון שהיחס בין
B
M
{\displaystyle BM}
ל
V
M
{\displaystyle VM}
הוא ישר, והיחס בין
M
C
{\displaystyle MC}
ל
V
M
{\displaystyle VM}
הוא לינארי (בתוספת
V
K
{\displaystyle VK}
), נסמן
B
M
=
α
V
M
,
M
C
=
V
K
+
β
V
M
(
α
,
β
>
0
)
{\displaystyle BM=\alpha VM\ ,\ MC=VK+\beta VM\ \ (\alpha ,\beta >0)}
ונקבל
M
D
2
=
α
V
M
⋅
(
V
K
+
β
V
M
)
=
α
V
M
⋅
V
K
+
α
β
V
M
2
{\displaystyle MD^{2}=\alpha VM\cdot (VK+\beta VM)=\alpha VM\cdot VK+\alpha \beta VM^{2}}
. נציב
V
M
′
=
(
V
M
+
V
K
2
α
)
{\displaystyle VM'=\left(VM+{\frac {VK}{2\alpha }}\right)}
ונקבל:
α
⋅
V
M
′
2
−
(
1
/
β
)
M
D
2
=
V
K
2
/
4
α
{\displaystyle \alpha \cdot VM'^{2}-(1/\beta )MD^{2}=VK^{2}/4\alpha }
, כאשר הפעולה של החלפה בין
V
M
{\displaystyle VM}
ל-
V
M
′
{\displaystyle VM'}
משמעותה בעצם הצבת ראשית הצירים (
V
{\displaystyle V}
) במרכז ההיפרבולה במקום בקודקוד שלה.
כעת במעבר למשתנים
x
,
y
{\displaystyle x,y}
נקבל כי
β
x
2
−
y
2
α
=
V
K
2
4
β
{\displaystyle \beta x^{2}-{\frac {y^{2}}{\alpha }}={\frac {VK^{2}}{4\beta }}}
. נחלק באגף ימין ונקבל
4
α
β
x
2
V
K
2
−
=
1
{\displaystyle {\frac {4\alpha \beta x^{2}}{VK^{2}}}-=1}
. מכיוון שהקבועים
α
,
β
,
V
K
{\displaystyle \alpha ,\beta ,VK}
כולם חיוביים, נוכל להגדיר:
V
K
2
4
α
β
=
a
2
{\displaystyle {\frac {VK^{2}}{4\alpha \beta }}=a^{2}}
β
V
K
2
4
β
y
2
=
b
2
{\displaystyle {\frac {\beta VK^{2}}{4\beta y^{2}}}=b^{2}}
ונקבל שוב:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
למעשה בנוסף לכך שמצאנו את משוואת ההיפרבולה הוכחנו גם כי כל שלושת ההגדרות מתייחסות לאותה צורה.
אם נציב את
a
=
b
=
1
{\displaystyle a=b=1}
נקבל את היפרבולת היחידה :
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
.
נתחיל במקרה שבו מרכז ההיפרבולה בראשית הצירים ונגדיר את מוקדיה כ
F
1
(
−
x
1
,
−
y
1
)
,
F
2
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle F_{1}(-x_{1},-y_{1})\ \ ,\ \ F_{2}(x_{1},y_{1})}
. נחשב:
|
(
x
−
x
1
)
2
+
(
y
−
y
1
)
2
−
(
x
+
x
1
)
2
+
(
y
+
y
1
)
2
|
=
2
h
{\displaystyle \left|{\sqrt {(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}}}-{\sqrt {(x+x_{1})^{2}+(y+y_{1})^{2}}}\right|=2h}
נעלה בריבוע:
2
x
2
+
2
x
1
2
+
2
y
2
+
2
y
1
2
−
2
[
(
x
−
x
1
)
2
+
(
y
−
y
1
)
2
]
[
(
x
+
x
1
)
2
+
(
y
+
y
1
)
2
]
=
4
h
2
{\displaystyle 2x^{2}+2x_{1}^{2}+2y^{2}+2y_{1}^{2}-2{\sqrt {\left[(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}\right]\left[(x+x_{1})^{2}+(y+y_{1})^{2}\right]}}=4h^{2}}
⇓
{\displaystyle \Downarrow }
2
x
2
+
2
x
1
2
+
2
y
2
+
2
y
1
2
−
4
h
2
=
2
(
x
2
−
x
1
2
)
2
+
(
y
2
−
y
1
2
)
2
+
(
x
2
−
2
x
x
1
+
x
1
2
)
(
y
2
+
2
y
y
1
+
y
1
2
)
+
(
x
2
+
2
x
x
1
+
x
1
2
)
(
y
2
−
2
y
y
1
+
y
1
2
)
{\displaystyle 2x^{2}+2x_{1}^{2}+2y^{2}+2y_{1}^{2}-4h^{2}=2{\sqrt {(x^{2}-x_{1}^{2})^{2}+(y^{2}-y_{1}^{2})^{2}+(x^{2}-2xx_{1}+x_{1}^{2})(y^{2}+2yy_{1}+y_{1}^{2})+(x^{2}+2xx_{1}+x_{1}^{2})(y^{2}-2yy_{1}+y_{1}^{2})}}}
נעלה שוב בריבוע:
4
x
4
+
4
x
1
4
+
4
y
4
+
4
y
1
4
+
16
h
4
+
8
x
2
x
1
2
+
8
x
2
y
2
+
8
x
2
y
1
2
−
16
x
2
h
2
+
8
x
1
2
y
2
+
8
x
1
2
y
1
2
−
16
x
1
2
h
2
+
8
y
2
y
1
2
−
16
y
2
h
2
−
16
y
1
2
h
2
=
{\displaystyle 4x^{4}+4x_{1}^{4}+4y^{4}+4y_{1}^{4}+16h^{4}+8x^{2}x_{1}^{2}+8x^{2}y^{2}+8x^{2}y_{1}^{2}-16x^{2}h^{2}+8x_{1}^{2}y^{2}+8x_{1}^{2}y_{1}^{2}-16x_{1}^{2}h^{2}+8y^{2}y_{1}^{2}-16y^{2}h^{2}-16y_{1}^{2}h^{2}=}
=
4
x
4
−
8
x
2
x
1
2
+
4
x
1
4
+
4
y
4
−
8
y
2
y
1
2
+
4
y
1
4
+
8
x
2
y
2
−
32
x
x
1
y
y
1
+
8
x
1
2
y
1
2
+
8
x
2
y
1
2
+
8
x
1
2
y
2
{\displaystyle =4x^{4}-8x^{2}x_{1}^{2}+4x_{1}^{4}+4y^{4}-8y^{2}y_{1}^{2}+4y_{1}^{4}+8x^{2}y^{2}-32xx_{1}yy_{1}+8x_{1}^{2}y_{1}^{2}+8x^{2}y_{1}^{2}+8x_{1}^{2}y^{2}}
נצמצם:
16
h
4
+
16
x
2
x
1
2
−
16
x
2
h
2
−
16
x
1
2
h
2
+
16
y
2
y
1
2
−
16
y
2
h
2
−
16
y
1
2
h
2
=
−
32
x
x
1
y
y
1
{\displaystyle 16h^{4}+16x^{2}x_{1}^{2}-16x^{2}h^{2}-16x_{1}^{2}h^{2}+16y^{2}y_{1}^{2}-16y^{2}h^{2}-16y_{1}^{2}h^{2}=-32xx_{1}yy_{1}}
נחלק ב16:
h
4
+
x
2
x
1
2
−
x
2
h
2
−
x
1
2
h
2
+
y
2
y
1
2
−
y
2
h
2
−
y
1
2
h
2
=
−
2
x
x
1
y
y
1
{\displaystyle h^{4}+x^{2}x_{1}^{2}-x^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y^{2}y_{1}^{2}-y^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}=-2xx_{1}yy_{1}}
במקרה שבו מרכז ההיפרבולה הוא בנקודה
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
, נקבל:
h
4
+
x
2
x
1
2
−
2
x
x
0
x
1
2
+
x
0
2
x
1
2
−
x
2
h
2
+
2
x
x
0
h
2
−
x
0
2
h
2
−
x
1
2
h
2
+
y
2
y
1
2
−
2
y
y
0
y
1
2
+
y
0
2
y
1
2
−
y
2
h
2
+
2
y
y
0
h
2
−
y
0
2
h
2
−
y
1
2
h
2
=
{\displaystyle h^{4}+x^{2}x_{1}^{2}-2xx_{0}x_{1}^{2}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x^{2}h^{2}+2xx_{0}h^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y^{2}y_{1}^{2}-2yy_{0}y_{1}^{2}+y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y^{2}h^{2}+2yy_{0}h^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}=}
=
−
2
x
y
x
1
y
1
+
2
x
y
0
x
1
y
1
+
2
x
0
y
x
1
y
1
−
2
x
0
y
0
x
1
y
1
{\displaystyle =-2xyx_{1}y_{1}+2xy_{0}x_{1}y_{1}+2x_{0}yx_{1}y_{1}-2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}}
נצמצם:
(
x
1
2
−
h
2
)
x
2
+
(
2
x
0
h
2
−
2
x
0
x
1
2
−
2
y
0
x
1
y
1
)
x
+
(
y
1
2
−
h
2
)
y
2
+
(
2
y
0
h
2
−
2
y
0
y
1
2
−
2
x
0
x
1
y
1
)
y
+
2
x
1
y
1
x
y
+
h
4
+
x
0
2
x
1
2
−
x
0
2
h
2
−
x
1
2
h
2
+
{\displaystyle (x_{1}^{2}-h^{2})x^{2}+(2x_{0}h^{2}-2x_{0}x_{1}^{2}-2y_{0}x_{1}y_{1})x+(y_{1}^{2}-h^{2})y^{2}+(2y_{0}h^{2}-2y_{0}y_{1}^{2}-2x_{0}x_{1}y_{1})y+2x_{1}y_{1}xy+h^{4}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+}
+
y
0
2
y
1
2
−
y
0
2
h
2
−
y
1
2
h
2
+
2
x
0
y
0
x
1
y
1
=
0
{\displaystyle +y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}+2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}=0}
נציב:
x
1
2
−
h
2
=
a
{\displaystyle x_{1}^{2}-h^{2}=a}
2
x
0
h
2
−
2
x
0
x
1
2
−
2
y
0
x
1
y
1
=
b
{\displaystyle 2x_{0}h^{2}-2x_{0}x_{1}^{2}-2y_{0}x_{1}y_{1}=b}
y
1
2
−
h
2
=
c
{\displaystyle y_{1}^{2}-h^{2}=c}
2
y
0
h
2
−
2
y
0
y
1
2
−
2
x
0
x
1
y
1
=
d
{\displaystyle 2y_{0}h^{2}-2y_{0}y_{1}^{2}-2x_{0}x_{1}y_{1}=d}
2
x
1
y
1
=
e
{\displaystyle 2x_{1}y_{1}=e}
h
4
+
x
0
2
x
1
2
−
x
0
2
h
2
−
x
1
2
h
2
+
y
0
2
y
1
2
−
y
0
2
h
2
−
y
1
2
h
2
+
2
x
0
y
0
x
1
y
1
=
f
{\displaystyle h^{4}+x_{0}^{2}x_{1}^{2}-x_{0}^{2}h^{2}-x_{1}^{2}h^{2}+y_{0}^{2}y_{1}^{2}-y_{0}^{2}h^{2}-y_{1}^{2}h^{2}+2x_{0}y_{0}x_{1}y_{1}=f}
נקבל את המשוואה הכללית של היפרבולה:
a
x
2
+
b
x
+
c
y
2
+
d
y
+
e
x
y
+
f
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+cy^{2}+dy+exy+f=0}
אם נציב
a
=
b
=
c
=
d
=
0
,
e
=
1
,
f
=
−
1
{\displaystyle a=b=c=d=0\ \ ,\ \ e=1\ \ ,\ \ f=-1}
נקבל את ההיפרבולה המפורסמת
y
=
1
x
{\displaystyle y={\frac {1}{x}}}
, שהיא הנגזרת של פונקצית הלוגריתם הטבעי
ln
{\displaystyle \ln }
.