מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/ההיפרבולה/משוואת ההיפרבולה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Hyperbel med brännpunkter.svg

ההיפרבולה הקנונית[עריכה]

משוואת ההיפרבולה הקנונית על פי ההגדרה הראשונה[עריכה]

נשתמש בהגדרה הראשונה: ההיפרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהערך המוחלט של הפרש המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות (המוקדים) הוא קבוע.

בהיפרבולה הקנונית המוקדים על ציר הx ומרכזה הוא ראשית הצירים.

נסמן את המיקומים של המוקדים ב ו. נקבל:

נעלה בריבוע:

נעלה בריבוע שוב:

נצמצם:

נכנס איברים דומים:

נחלק באגף ימין:

נציב

נקבל:

משוואת ההיפרבולה הקנונית על פי ההגדרה השנייה[עריכה]

נשתמש בהגדרה השנייה: ההיפרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שהיחס (אקסצנטריות) בין מרחק מנקודה קבועה (מוקד) למרחקן מישר קבוע (מדריך) הוא קבוע, בתנאי שהקבוע הנ"ל גדול מאחד.

נתחיל מהמקרה בו קודקוד ההיפרבולה (הסמוך למוקד שבו בוחרים) הוא בראשית הצירים, ונעבור להיפרבולה הקנונית:

נגדיר את קבוע האקסצנטריות ב, ואת המוקד ב. מרחק הקודקוד מהמוקד הוא ולכן מרחק הקודקוד מהמדריך צריך להיות , כלומר המדריך צריך להיות . נקבל:

נעלה בריבוע:

נכנס איברים דומים:

כעת נמצא את הקודקוד השני (באמצעות השוואת y ל0):

נוציא גורם משותף:

נקבל שני פיתרונות:

הפיתרון הראשון הוא הקודקוד הראשון, והשני הוא הקודקוד שרצינו למצוא. כעת נחלק את ערך הקודקוד השני בשתיים ונקבל את ערך המרכז (שהוא אמצע הקטע שבין הקודקודים):

נעביר את המרכז לראשית הצירים באמצעות הטרנספורמציה :

נעביר אגפים:

נחלק ב:

נסמן:

  • (הביטוי חיובי כי על פי ההגדרה )

נקבל שוב:

.

משוואת ההיפרבולה על פי ההגדרה השלישית[עריכה]

The squares of the hyperbola.jpg

נשתמש בהגדרה השלישית: ההיפרבולה היא חתך החרוט המתקבל כאשר הזוית בין המישור החותך לציר החרוט קטנה מהזוית בין הקו היוצר לציר החרוט.

אפולוניוס מפרגה מביא הוכחה המבוססת על משפט 35 בספר השלישי של ה-"יסודות" של אוקלידס. משפט זה קובע תכונה חשובה של שני מיתרים במעגל שנחתכים: "מכפלת הקטעים שמקצה המיתר האחד על השני שווה למכפלת הקטעים שמקצה המיתר השני על הראשון". תכונה זו מועילה מאוד בניתוח העקומים נחתכים מחרוט על ידי מישור. אם נעזר במעט דמיון מרחבי, נבחין שאם נסתכל על החרוט כאוסף של פרוסות מעגליות ברדיוס משתנה, אז ניתן להיעזר במשפט כדי להסיק באופן מקומי דברים על קו החיתוך של פרוסה מעגלית כזאת עם המישור. נבחר נקודה כללית , כשהנקודות שבמישור שלה משתנות איתה, ונקודות קבועות (כאשר כשנעבור לצירי הנקודה תשמש כראשית הצירים). כיוון שהעקום הנחתך סימטרי, נקבל כי . מכיוון שהיחס בין ל הוא ישר, והיחס בין ל הוא לינארי (בתוספת ), נסמן ונקבל . נציב ונקבל: , כאשר הפעולה של החלפה בין ל- משמעותה בעצם הצבת ראשית הצירים () במרכז ההיפרבולה במקום בקודקוד שלה.

כעת במעבר למשתנים נקבל כי . נחלק באגף ימין ונקבל . מכיוון שהקבועים כולם חיוביים, נוכל להגדיר:

ונקבל שוב:

למעשה בנוסף לכך שמצאנו את משוואת ההיפרבולה הוכחנו גם כי כל שלושת ההגדרות מתייחסות לאותה צורה.

אם נציב את נקבל את היפרבולת היחידה: .

ההיפרבולה הכללית[עריכה]

Hyperbola not canonical.jpg

נתחיל במקרה שבו מרכז ההיפרבולה בראשית הצירים ונגדיר את מוקדיה כ . נחשב:

נעלה בריבוע:

נעלה שוב בריבוע:

נצמצם:

נחלק ב16:

במקרה שבו מרכז ההיפרבולה הוא בנקודה , נקבל:

נצמצם:

נציב:

נקבל את המשוואה הכללית של היפרבולה:

אם נציב נקבל את ההיפרבולה המפורסמת , שהיא הנגזרת של פונקצית הלוגריתם הטבעי .