מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/מיתר וקוטר באליפסה

קוטר - מיתר העובר דרך מרכז האליפסה.

מיתר - קטע המחבר שתי נקודות על האליפסה.

מכפלת שיפוע המיתר באליפסה $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$ עם הקוטר שחוצה אותו היא $m_{1}\cdot m_{2}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$

דוגמה 1: מציאת משוואת המיתר מצא את משוואת המיתר הנחתך עם האליפסה ${\frac {x^{2}}{15^{2}}}+{\frac {y^{2}}{10^{2}}}=1$ שהנקודה $(2,2)$ היא אמצעו. שיפוע הקוטר העובר דרך הנקודה $(2,2)$ וראשית הצירים הוא $m_{=}{\frac {2-0}{2-0}}=1$ . נמצא את ערכי $a^{2},b^{2}$ בכדי להציב בנוסחה לעיל: $a^{2}=225$ ו- $b^{2}=100$ נציב במשוואת מכפלת שיפוע המיתר: $1\cdot m_{2}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}=-{\frac {100}{225}}=-{\frac {5}{9}}$ נמצא את משוואת המיתר העובר באמצעות נקודה ושיפוע ונקבל: $y-2=-{\frac {5}{9}}(x-2)$ משוואת המיתר $y=-{\frac {5}{9}}x+3{\frac {1}{9}}$

הוכחת מכפלת שיפוע מיתר

נסמן את נקודות החיתוך של המיתר עם האליפסה ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ בנקודות $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ .

נמצא את נקודת האמצע של המיתר, דרכו הקוטר עובר, באמצעות שיעורי אמצע של קטע: $\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)$ .

נמצא את שיפוע המיתר על-פי משוואת השיפוע: $m_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ .

נמצא את שיפוע הקוטר עובר דרך ראשית הצירים (הגדרת הקוטר) ונקודת אמצע המיתר:

$m_{2}={\frac {{\dfrac {y_{1}+y_{2}}{2}}-0}{{\dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}-0}}={\frac {y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$ .

נמצא את מכפלת השיפועים ונקבל:

$m_{1}\cdot m_{2}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot {\frac {y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}}={\frac {(y_{2})^{2}-(y_{1})^{2}}{(x_{2})^{2}-(x_{1})^{2}}}$

מאחר ונקודות החיתוך של המיתר נמצאות על האליפסה, נוכל למצוא את ערך ה- $y$ שלהן:

$(y_{1})^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\big [}a^{2}-(x_{1})^{2}{\big ]}$

$(y_{2})^{2}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\big [}a^{2}-(x_{2})^{2}{\big ]}$

נציב את הערכים במכפלת השיפועים ונקבל:

$m_{1}\cdot m_{2}={\frac {{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}{\big [}a^{2}-(x_{1})^{2}{\big ]}-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}{\big [}a^{2}-(x_{2})^{2}{\big ]}}{(x_{2})^{2}-(x_{1})^{2}}}={\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\dfrac {a^{2}-(x_{2})^{2}-a^{2}+(x_{1})^{2}}{(x_{2})^{2}-(x_{1})^{2}}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$