מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/התיאור הגרפי של האליפסה

האליפסה ומערכת הצירים

האליפסה היא סימטרית לצירים מפני שבמשוואת ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ קיימים הביטויים $x^{2},y^{2}$ בלבד.

אם נחלץ את $y$ נקבל $y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$ . הביטוי בשורש חייב להיות אי-שלילי כלומר $a^{2}-x^{2}\geq 0$ לפיכך נוכל לטעון על $x$ שהוא $-a\leq x\leq a$ .

אם נחלץ את $x$ נקבל $x=\pm {\frac {a}{b}}{\sqrt {b^{2}-y^{2}}}$ . גם במקרה זה הביטוי בשורש חייב להיות אי-שלילי כלומר $b^{2}-y^{2}\geq 0$ לפיכך נוכל לטעון על $y$ שהוא $-b\leq y\leq b$ .

מכאן אנו יכולים להגדיר את קדקודי האליפסה על הצירים: $(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)$. הגרף המתקבל הוא קו סגור.

בדרך-כלל נעסוק באליפסות בהן $a>b$ ועל סמך כך:

• הציר הגדול הוא הקטע הכלוא בין נקודות $a$
• הציר הקטן הוא הקטע הכלוא בין נקודות $b$
• מרכז האליפסה הוא נקודת החיתוך של הציר הגדול והקטן.

האליפסה הקנונית סימטרית לצירים ומרכזה בראשית הצירים.