אליפסה קנונית היא אליפסה אשר מוקדיה על ציר ה-
כך ש-
ו-
ומרכזה בראשית הצירים.
משוואת האליפסה הקנונית:
כאשר
.[1] או לחילופין
אורכי הרדיוסי הוקטור:
מוקדי האליפסה:
הוכחת משוואת האליפסה הקנונית במישור האלגברי
[עריכה]
הנקודה
תהא נקודה על האליפסה במישור הקרטזי וערכה
.
על-פי הגדרת האליפסה, סכום המרחק של נקודה על האליפסה מהמוקדים
(כלומר המרחק
) שווה לגודל קבוע
.
![{\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03da09c7f542433cac6d6b86a2e6c2435e92819)
![{\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74ce17c690f12caace63255ed383d0fe46bf005)
נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה, ונקבל:
![{\displaystyle (x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+(x-c)^{2}+y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5f3fe124f528dea73385a3609047a868e98ca7)
![{\displaystyle x^{2}+2xc+c^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+x^{2}-2xc+c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec10035646efd7e13aeddfefc63525fcc4c903f)
![{\displaystyle 4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=4a^{2}-4xc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d6fb807775f85fbd01764d687f566f8f73da9e8)
נצמצם ב-4 ונקבל:
![{\displaystyle a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}-xc}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ffdbe6be7306845592d735ef4fc8575c9f2937)
נעלה בריבוע:
![{\displaystyle a^{2}[(x-c)^{2}+y^{2}]=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26da41abe48c54f794b6d421b356861850db234)
![{\displaystyle a^{2}(x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2})=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d5d2975a0d0618e67f2d866ca6bc4a67e63ead)
![{\displaystyle a^{2}x^{2}-2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1336cdee343270d223a74aad45d3b0c958d7b0)
![{\displaystyle a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+x^{2}c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239b7a16fc40d955d40cef461cccb0e0c49e3d8c)
![{\displaystyle a^{2}x^{2}-x^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4807300bf27246997b22d77012a1d69fa99786a6)
![{\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc6b8ba9d0dac80c6edbbed6b155eedaa6dff9b)
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e749b1ab61c309f4d9c5ab84c01a7e12ad23221)
הגודל
הוא חיובי (על-פי תנאי לקיום האליפסה
כלומר
).
נסמן:
נציב במשוואת האליפסה ונקבל:
כאשר
.
משוואה זו מייצגת את כל הנקודות
במישור הקרטזי שסכום מרחקיהן מהנקודות
הוא גודל קבוע השווה ל-
כאשר מתקיים:
.
באמצעות רדיוסי הוקטור
[עריכה]
על משפט פיתגורס נוכל למצוא את אורכי הרדיוס הוקטורי:
![{\displaystyle (r_{1})^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a07a7cb8237fd9c56e60c7bd3a86ab2eb5fb063)
![{\displaystyle (r_{2})^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6006a95db0b30039030a1ab6654a9792d89293)
נחסיר את המשוואות זו מזו ונקבל
.
נפרק לגורמים את נוסחת הכפל המקוצר ונקבל
נציב על-פי הגדרת האליפסה
במשוואתנו ונקבל
נחלק ב-
ונקבל
נצמצם
נעביר אגפים
ונציב את התוצאה במשוואה
כלומר
. נצמצם, נחלק ונעביר אגפים, נקבל
.
- באופן דומה ניתן להגיע ל-
![{\displaystyle r_{2}=a+{\frac {cx}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26eee7b8b69ae8f592df0c455ed95a553f77c36b)
נציב את התוצאה
במשוואה הראשונה
נקבל
.
נפתח את המשוואה ונקבל
נסדר את הנעלמים באגף אחד
נכפול פי
ונקבל
על-פי תנאי לקיום האליפסה
כלומר
נציב במשוואה שלנו ונקבל
כלומר
.
- ^ במידה
מדובר במעגל