מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה הקנונית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

אליפסה קנונית היא אליפסה אשר מוקדיה על ציר ה- כך ש- ו- ומרכזה בראשית הצירים.

משוואת האליפסה הקנונית: כאשר .‏[1] או לחילופין

אורכי הרדיוסי הוקטור:

מוקדי האליפסה:



דוגמה 1: שימוש במשוואת האליפסה

מצא לאליפסה את הצירים (הגדול והקטן) ואת המוקדים.

בכדי למצוא את הפרמטרים נחלק את המשוואה ב- על-מנת שתדמה למשוואת האליפסה . נקבל .

נצמצם ונקבל .

נחלץ את ונקבל

נחלץ את ונקבל

נציב בנוסחה , נקבל . מכאן ולכן מוקדי האליפסה הנם


הוכחת משוואת האליפסה הקנונית במישור האלגברי[עריכה]

על-פי הגדרת המעגל[עריכה]

הנקודה תהא נקודה על האליפסה במישור הקרטזי וערכה .

על-פי הגדרת האליפסה, סכום המרחק של נקודה על האליפסה מהמוקדים (כלומר המרחק ) שווה לגודל קבוע .

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה, ונקבל:

נצמצם ב-4 ונקבל:

נעלה בריבוע:

הגודל הוא חיובי (על-פי תנאי לקיום האליפסה כלומר ).

נסמן:

נציב במשוואת האליפסה ונקבל: כאשר .

משוואה זו מייצגת את כל הנקודות במישור הקרטזי שסכום מרחקיהן מהנקודות הוא גודל קבוע השווה ל- כאשר מתקיים: .

באמצעות רדיוסי הוקטור[עריכה]

על משפט פיתגורס נוכל למצוא את אורכי הרדיוס הוקטורי:

נחסיר את המשוואות זו מזו ונקבל .

נפרק לגורמים את נוסחת הכפל המקוצר ונקבל

נציב על-פי הגדרת האליפסה במשוואתנו ונקבל

נחלק ב- ונקבל

נצמצם

נעביר אגפים ונציב את התוצאה במשוואה כלומר . נצמצם, נחלק ונעביר אגפים, נקבל .

  • באופן דומה ניתן להגיע ל-

נציב את התוצאה במשוואה הראשונה נקבל .

נפתח את המשוואה ונקבל

נסדר את הנעלמים באגף אחד

נכפול פי ונקבל

על-פי תנאי לקיום האליפסה כלומר נציב במשוואה שלנו ונקבל כלומר .

הערות שולים[עריכה]

  1. ^ במידה מדובר במעגל