מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה הקנונית

אליפסה קנונית היא אליפסה אשר מוקדיה על ציר ה- $x$ כך ש- $F_{1}(c,0)$ ו- $F_{2}(-c,0)$ ומרכזה בראשית הצירים.

משוואת האליפסה הקנונית: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ כאשר $a>b$ . או לחילופין $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$

אורכי הרדיוסי הוקטור: $r_{1}=a-{\frac {xc}{a}}\ ,\ r_{2}=a+{\frac {cx}{a}}$

מוקדי האליפסה: $c^{2}=a^{2}-b^{2}$

דוגמה 1: שימוש במשוואת האליפסה מצא לאליפסה $9x^{2}+25y^{2}=225$ את הצירים (הגדול והקטן) ואת המוקדים. בכדי למצוא את הפרמטרים נחלק את המשוואה ב- $255$ על-מנת שתדמה למשוואת האליפסה ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ . נקבל ${\frac {9x^{2}}{225}}+{\frac {25y^{2}}{225}}={\frac {225}{225}}$ . נצמצם ונקבל ${\frac {x^{2}}{25}}+{\frac {y^{2}}{9}}=1$ . נחלץ את $a^{2}=25$ ונקבל $a=5$ נחלץ את $b^{2}=9$ ונקבל $b=3$ נציב בנוסחה $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ , נקבל $c^{2}=25-9=16$ . מכאן $c=4$ ולכן מוקדי האליפסה הנם $(-4,0),(4,0)$

הוכחת משוואת האליפסה הקנונית במישור האלגברי

על-פי הגדרת המעגל

הנקודה $P$ תהא נקודה על האליפסה במישור הקרטזי וערכה $P(x,y)$.

על-פי הגדרת האליפסה, סכום המרחק של נקודה על האליפסה מהמוקדים $F_{1},F_{2}$ (כלומר המרחק $r_{1}+r_{2}={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$) שווה לגודל קבוע $2a$ .

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a$

${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה, ונקבל:

$(x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+(x-c)^{2}+y^{2}$

$x^{2}+2xc+c^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+x^{2}-2xc+c^{2}$

$4a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=4a^{2}-4xc$

נצמצם ב-4 ונקבל:

$a{\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}-xc$

נעלה בריבוע:

$a^{2}[(x-c)^{2}+y^{2}]=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$

$a^{2}(x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2})=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$

$a^{2}x^{2}-2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$

$a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+x^{2}c^{2}$

$a^{2}x^{2}-x^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}$

$(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

הגודל $a^{2}-c^{2}$ הוא חיובי (על-פי תנאי לקיום האליפסה $a^{2}>c^{2}$ כלומר $a^{2}-c^{2}>0$).

נסמן: $b^{2}=a^{2}-c^{2}$

נציב במשוואת האליפסה ונקבל: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ כאשר $a>b$ .

משוואה זו מייצגת את כל הנקודות $(x,y)$ במישור הקרטזי שסכום מרחקיהן מהנקודות $F_{1}(c,0),F_{2}(-c,0)$ הוא גודל קבוע השווה ל- $2a$ כאשר מתקיים:$a^{2}=c^{2}+b^{2}$ .

באמצעות רדיוסי הוקטור

על משפט פיתגורס נוכל למצוא את אורכי הרדיוס הוקטורי:

1. $(r_{1})^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}$
2. $(r_{2})^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}$

נחסיר את המשוואות זו מזו ונקבל $(r_{2})^{2}-(r_{1})^{2}=4xc$ .

נפרק לגורמים את נוסחת הכפל המקוצר ונקבל $(r_{2}+r_{1})(r_{2}-r_{1})=4xc$

נציב על-פי הגדרת האליפסה $r_{2}+r_{1}=2a$ במשוואתנו ונקבל $2a(r_{2}-r_{1})=4xc$

נחלק ב- $2a$ ונקבל $(r_{2}-r_{1})={\frac {4xc}{2a}}$

נצמצם $(r_{2}-r_{1})={\frac {2xc}{a}}$

נעביר אגפים $r_{2}={\frac {2xc}{a}}+r_{1}$ ונציב את התוצאה במשוואה $r_{2}+r_{1}=2a$ כלומר ${\frac {2xc}{a}}+r_{1}+r_{1}=2a$ . נצמצם, נחלק ונעביר אגפים, נקבל $r_{1}=a-{\frac {xc}{a}}$ .

• באופן דומה ניתן להגיע ל- $r_{2}=a+{\frac {cx}{a}}$

נציב את התוצאה $r_{1}=a-{\frac {xc}{a}}$ במשוואה הראשונה $(r_{1})^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}$ נקבל $(a-{\frac {xc}{a}})^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}$ .

נפתח את המשוואה ונקבל $a^{2}-2cx+{\frac {c^{2}x^{2}}{a^{2}}}=^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}$

נסדר את הנעלמים באגף אחד $x^{2}-{\frac {c^{2}x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=a^{2}-c^{2}$

נכפול פי $a^{2}$ ונקבל $(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$

על-פי תנאי לקיום האליפסה $a^{2}>c^{2}$ כלומר $a^{2}-c^{2}>0$ נציב במשוואה שלנו ונקבל $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$ כלומר ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ .