אליפסה קנונית היא אליפסה אשר מוקדיה על ציר ה-
כך ש-
ו-
ומרכזה בראשית הצירים.
משוואת האליפסה הקנונית:
כאשר
.[1] או לחילופין
אורכי הרדיוסי הוקטור:
מוקדי האליפסה:
הוכחת משוואת האליפסה הקנונית במישור האלגברי[עריכה]
על-פי הגדרת המעגל[עריכה]
הנקודה
תהא נקודה על האליפסה במישור הקרטזי וערכה
.
על-פי הגדרת האליפסה, סכום המרחק של נקודה על האליפסה מהמוקדים
(כלומר המרחק
) שווה לגודל קבוע
.


נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה, ונקבל:



נצמצם ב-4 ונקבל:

נעלה בריבוע:
![{\displaystyle a^{2}[(x-c)^{2}+y^{2}]=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26da41abe48c54f794b6d421b356861850db234)






הגודל
הוא חיובי (על-פי תנאי לקיום האליפסה
כלומר
).
נסמן:
נציב במשוואת האליפסה ונקבל:
כאשר
.
משוואה זו מייצגת את כל הנקודות
במישור הקרטזי שסכום מרחקיהן מהנקודות
הוא גודל קבוע השווה ל-
כאשר מתקיים:
.
באמצעות רדיוסי הוקטור[עריכה]
על משפט פיתגורס נוכל למצוא את אורכי הרדיוס הוקטורי:


נחסיר את המשוואות זו מזו ונקבל
.
נפרק לגורמים את נוסחת הכפל המקוצר ונקבל
נציב על-פי הגדרת האליפסה
במשוואתנו ונקבל
נחלק ב-
ונקבל
נצמצם
נעביר אגפים
ונציב את התוצאה במשוואה
כלומר
. נצמצם, נחלק ונעביר אגפים, נקבל
.
- באופן דומה ניתן להגיע ל-

נציב את התוצאה
במשוואה הראשונה
נקבל
.
נפתח את המשוואה ונקבל
נסדר את הנעלמים באגף אחד
נכפול פי
ונקבל
על-פי תנאי לקיום האליפסה
כלומר
נציב במשוואה שלנו ונקבל
כלומר
.
הערות שולים[עריכה]
- ^ במידה
מדובר במעגל