לדלג לתוכן

מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה היא מעגל מכווץ

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

האליפסה היא המקום הגאומטרי המתקבל מהמעגל על-ידי כיווץ או מתיחה המרחק של כל הנקודות מעגל מהקוטר בערך קבוע כך שבפועל אנו מחליפים את כל נקודה שעל המעגל בנקודה בתנאי ש- .



דוגמה 1: אליפסה כיווץ של המעגל

נתון המעגל . בונים אליפסה המתקבלת על-ידי הכפלת שיעורי ה- של נקודות המעגל ב- . מצא את משוואת האליפסה המתקבלת.

על-פי הנתונים . כדי להכפיל את שיעורי ה- עלינו להכפיל במקדם (הרי משוואת האליפסה ), לכן מצד אחד, נהפוך את המקדמים ומצד שני, נחלק ב- את משוואת האליפסה ונציב את הנתון כך ש

נחלק ב- ונקבל


הוכחה[עריכה]

אם המעגל מקיים את התנאי , דהיינו הציר הראשי הוא ציר ה- ועליו הנקודה , נחליף את הנקודה בנקודה אחרת, שערך ה- קטן מערך הנקודה על המעגל, כלומר .

עתה בעזרת הנקודה החדשה נמצא את המקום הגאומטרי המתקבל. מאחר שהקשר בין דומה לקשר בין , נוכל להניח כי הנוסחה המקשרת הינה משוואת מעגל. במילים אחרות, נציב את הנקודה במשוואת מעגל חדשה ונקבל .

נביע את המשוואה שקיבלו עבור כל ה- המקיימות קשר זה (ולא רק עבור הנקודה הספציפית שלנו ). נציב במקום את עבור כל נקודה. עתה קיבלנו משוואה של אליפסה .

נחלק את המשוואה ב- ונקבל משוואת אליפסה שהציר הגדולה שלה שווה לקוטר המעגל.