מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/ישרים/משפט תאלס

היחס בין שוקי הזווית

שני הישרים מאותו צד של הקדקוד

הקדקוד כלוא בין הישרים

ניעזר בסימונים שבציור בצד.

נתון $BC||DE$ , צריך להוכיח ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}$

נעביר את $BE$ ואת $CD$ .

נסתכל על המשולש $BDE$ ועל המשולש $CDE$ .

בשני משולשים אלו, $DE$ צלע, והגובה מ- $B$ ל- $DE$ שווה לגובה מ-$C$ ל- $DE$ . (כי $DE||BC$)

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר $S_{\triangle BDE}=S_{\triangle CDE}$

אם הישרים מאותו צד של הקדקוד (הציור העליון), נוסיף לשני הצדדים את שטח המשולש $ADE$ .

אם הקדקוד כלוא בין הישרים (הציור התחתון), נוריד משני האגפים את שטח המשולש $ADE$ .

נקבל $S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ACD}$

נחלק את שני האגפים בשטח המשולש $ADE$ , ונקבל ${\frac {S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ADE}}}={\frac {S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ADE}}}$

נוריד גובה $h_{1}$ מ- $E$ ל- $AB$ , וגובה $h_{2}$ מ- $D$ ל- $AC$ .

מכיון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל: ${\frac {\frac {h_{1}AB}{2}}{\frac {h_{1}AD}{2}}}={\frac {\frac {h_{2}AC}{2}}{\frac {h_{2}AE}{2}}}$

לאחר צמצום, נקבל: ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}$

היחס בין הישרים החותכים את הזווית

נסמן נקודה M על BC כך ש-$DM\|EC$

מכיון ש- $DM\|EC$ ו-$DE\|MC$, DECM [[/../../מקבילית|מקבילית]]

לכן, DE=CM

אם נסתכל על B כקדקוד, נקבל, ע"פ היחס בין שוקי הזווית (שהוכח לעיל): ${\frac {BA}{AD}}={\frac {BC}{CM}}$

אם נציב DE=CM, נקבל: ${\frac {BA}{AD}}={\frac {BC}{DE}}$

ע"פ כלל המעבר, נקבל: ${\frac {AB}{AD}}={\frac {AC}{AE}}={\frac {BC}{DE}}$