לדלג לתוכן

מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/ישרים/משפט תאלס

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

היחס בין שוקי הזווית

[עריכה]
שני הישרים מאותו צד של הקדקוד
הקדקוד כלוא בין הישרים

ניעזר בסימונים שבציור בצד.

נתון , צריך להוכיח

נעביר את ואת .

נסתכל על המשולש ועל המשולש .

בשני משולשים אלו, צלע, והגובה מ- ל- שווה לגובה מ- ל- . (כי )

לכן, שטחי משולשים אלו שווים, כלומר

אם הישרים מאותו צד של הקדקוד (הציור העליון), נוסיף לשני הצדדים את שטח המשולש .

אם הקדקוד כלוא בין הישרים (הציור התחתון), נוריד משני האגפים את שטח המשולש .

נקבל

נחלק את שני האגפים בשטח המשולש , ונקבל

נוריד גובה מ- ל- , וגובה מ- ל- .

מכיון ששטח משולש שווה למחצית מכפלת צלע בגובה לה, נקבל:

לאחר צמצום, נקבל:

היחס בין הישרים החותכים את הזווית

[עריכה]

נסמן נקודה M על BC כך ש-

מכיון ש- ו-, DECM [[/../../מקבילית|מקבילית]]

לכן, DE=CM

אם נסתכל על B כקדקוד, נקבל, ע"פ היחס בין שוקי הזווית (שהוכח לעיל):

אם נציב DE=CM, נקבל:

ע"פ כלל המעבר, נקבל: