מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/הבינום של ניוטון ומשולש פסקל

הבינום של ניוטון

הקדמה

ודאי נתקלתם בעת לימודי האלגברה בנוסחה $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$. יתכן כי גם נתקלתם בנושא עבור חזקה שלישית: $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$.

מתעוררת השאלה האם קיימת נוסחה כללית לכל חזקה? כלומר, האם קיימת נוסחה המתארת לכמה שווה $(a+b)^{n}$?

התשובה לשאלה זו היא חיובית. קיימת נוסחה הנקראת הבינום של ניוטון ("בינום" פירושו "דו־אבר", והמילה מכוונת לכך שבתוך הסוגריים מופיעים שני אברים). ראשית נציג את הנוסחה, ואחר כך נעבור להוכחה שלה.

נוסחת הבינום היא כדלהלן:

• $(a+b)^{n}={\binom {n}{0}}a^{n}b^{0}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b^{1}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}a^{1}b^{n-1}+{\binom {n}{n}}a^{0}b^{n}$

כזכור ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$. ביטוי זה נלמד בפרק העוסק בצירופים ונקרא שם "מקדם הבינום". כעת ברורה הסיבה לשם: הביטוי מופיע בתור המקדם המספרי לפני הגורמים $a,b$.

סימן הסיגמא

על מנת להקל את כתיבת הבינום, נציג כאן סימן שימושי ומקובל במתמטיקה – סימן הסכימה. מטרת הסימן לאפשר כתיבת סכום בצורה פשוטה, על ידי הצגת האבר הכללי שלו בלבד.

באופן כללי, אם קיימת סדרה $a_{1},\ldots ,a_{n}$ נגדיר את סימן הסכימה כך:

• $\sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+\cdots +a_{n}$

למשל:

• $\sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n$
• $\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}+\cdots +{\binom {n}{n}}$

סימן הסכימה הוא האות היוונית הגדולה $\Sigma$ (סיגמא). המשתנה $k$ משמש בתור אינדקס שמקבל כל ערך טבעי בין הערך שניתן לו מתחת לסימן הסכימה (במקרים שהצגנו – 1 או 0) ועד הערך שמעל סימן הסכימה (במקרים שהצגנו – $n$), ואנו סוכמים את כל האברים מהצורה $a_{k}$ לכל הערכים אותם $k$ מקבל.

באמצעות סימן הסכימה ניתן לכתוב את הבינום של ניוטון כך:

• $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$

סיכום נוסחת הבינום

הבינום של ניוטון היא נוסחה שמטרתה לחשב את הסכום של איברים בחזקה $(a+b)^{n}$ . בשל השימוש בכפל המקוצר נהוג להשתמש בה עבור אברים הנמצאים בחזקה הגדולה משלוש.

הנוסחה לחישוב $({\color {MediumBlue}a}+{\color {Turquoise}b})^{\color {Indigo}n}=\sum _{\color {Fuchsia}k=0}^{\color {Indigo}n}{{\color {Indigo}n} \choose {\color {Fuchsia}k}}{\color {MediumBlue}a}^{\color {Fuchsia}k}b^{{\color {Indigo}n}-{\color {Fuchsia}k}}$

$\sum$ הוא סימון לסכום האברים.

${\color {Indigo}n}$ היא החזקה שבה נמצאים הגורמים והיא למעשה קובעת את מספר הפעמים שיופיע הנעלמים $a,b$ .

מקדם הבנוני : ${{\color {Indigo}n} \choose {\color {Fuchsia}k}}={\frac {{\color {Indigo}n}!}{{\color {Fuchsia}k}!(n-{\color {Fuchsia}k})!}}$

שימוש בנוסחה

נחשב את $({\color {MediumBlue}a}+{\color {Turquoise}b})^{4}$.

תחילה נציב בנוסחה: $({\color {MediumBlue}a}+{\color {Turquoise}b})^{\color {Indigo}4}=\sum _{\color {Fuchsia}k=0}^{\color {Indigo}4}{{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}k}}{\color {MediumBlue}a}^{{\color {Indigo}4}-{\color {Fuchsia}k}}b^{\color {Fuchsia}k}$

שנית נחשב את $n$ ונקבל: ${\begin{cases}({\color {MediumBlue}a}+{\color {Turquoise}b})^{\color {Indigo}4}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}0}}{\color {MediumBlue}a}^{{\color {Indigo}4}-{\color {Fuchsia}0}}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}0}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}0}}{\color {MediumBlue}a}^{4}\\({\color {MediumBlue}a}+{\color {Turquoise}b})^{\color {Indigo}4}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}1}}{\color {MediumBlue}a}^{{\color {Indigo}4}-{\color {Fuchsia}1}}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}1}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}1}}{\color {MediumBlue}a}^{3}{\color {Turquoise}b}\\({\color {MediumBlue}a}+{\color {Turquoise}b})^{\color {Indigo}4}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}2}}{\color {MediumBlue}a}^{{\color {Indigo}4}-{\color {Fuchsia}2}}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}2}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}2}}{\color {MediumBlue}a}^{2}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}2}\\({\color {MediumBlue}a}+{\color {Turquoise}b})^{\color {Indigo}4}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}3}}{\color {MediumBlue}a}^{{\color {Indigo}4}-{\color {Fuchsia}3}}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}3}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}3}}{\color {MediumBlue}a}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}3}\\({\color {MediumBlue}a}+{\color {Turquoise}b})^{\color {Indigo}4}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}4}}{\color {MediumBlue}a}^{{\color {Indigo}4}-{\color {Fuchsia}4}}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}4}={{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}4}}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}4}\\\end{cases}}$

נסכם כי עלינו למצוא את הסכום עבור: ${{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}0}}{\color {MediumBlue}a}^{4}+{{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}1}}{\color {MediumBlue}a}^{3}{\color {Turquoise}b}+{{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}2}}{\color {MediumBlue}a}^{2}{\color {Turquoise}b}^{2}+{{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}3}}{\color {MediumBlue}a}{\color {Turquoise}b}^{3}+{{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}4}}{\color {Turquoise}b}^{4}$

נחשב את העצרת על פי הנוסחה : ${\begin{cases}{\displaystyle {{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}0}}={\frac {4!}{0!(4-0)!}}}={\frac {4*3*2*1}{1*4*3*2*1}}=1\\{\displaystyle {{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}1}}={\frac {4!}{1!(4-1)!}}}={\frac {4*3*2*1}{1*3*2*1}}=4\\{\displaystyle {{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}2}}={\frac {4!}{2!(4-2)!}}}={\frac {4*3*2*1}{2*1*2*1}}=6\\{\displaystyle {{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}3}}={\frac {4!}{3!(4-3)!}}}={\frac {4*3*2*1}{3*2*1*1}}=4\\{\displaystyle {{\color {Indigo}4} \choose {\color {Fuchsia}4}}={\frac {4!}{4!(4-4)!}}}={\frac {4*3*2*1}{4*3*2*1*1}}=1\\\end{cases}}$

נסכם את כלל האברים ונקבל כי הפתרון המתקבל הינו: ${\color {MediumBlue}a}^{4}+4{\color {MediumBlue}a}^{3}{\color {Turquoise}b}+6{\color {MediumBlue}a}^{2}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}2}+4{\color {MediumBlue}a}{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}3}+{\color {Turquoise}b}^{\color {Fuchsia}4}$

הוכחה לנוסחת הבינום

ניתן להוכיח את נוסחת הבינום באמצעות שימוש באינדוקציה מתמטית ובזהות $\ {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}$, אך זוהי הוכחה טכנית ואינה מסייעת להבין מדוע נוסחת הבינום נכונה. נציג כאן תיאור של הוכחה קומבינטורית שמתבססת על החומר שלמדנו בנושא צירופים.

ראשית ננסה להבין כיצד התקבלה הנוסחה במקרה הפרטי של $\ n=2,3$ ונראה כיצד ניתן להכליל אותה.

עבור $\ (a+b)^{2}$ אנו רושמים $\ (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)$ ואחר מבצעים ישירות את פעולת הכפל. כיצד אנו עושים זאת? קודם כל אנו בוחרים את האיבר $\ a$ מהסוגריים השמאליים וכופלים אותו בכל אחד מהאיברים מהסוגריים הימניים, ומקבלים את שני האיברים $\ aa+ab$. אחר אנו בוחרים את האיבר $\ b$ מהסוגריים השמאליים, כופלים אותו בכל אחד מהאיברים מהסוגריים הימניים ומקבלים את שני האיברים $\ ba+bb$. כלומר, קיבלנו:

• $\ (a+b)^{2}=aa+ab+ba+bb$.

כעת אנו מתבססים על כך ש-$\ ab=ba$ (זהו חוק החילוף) ולכן $\ ab+ba=2ab$. כמו כן $\ aa=a^{2},bb=b^{2}$ ולכן נקבל את הנוסחה המוכרת לנו: $\ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.

נעבור למקרה של $\ n=3$. גם כאן נכתוב $\ (a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)$. כאן כדי לבצע את הכפל נבחר איבר מהסוגריים השמאליים, אחר נבחר איבר מהסוגריים האמצעיים כדי לכפול אותו בו, ולבסוף נבחר איבר מהסוגריים הימניים כדי לכפול בו את התוצאה. נראה אילו איברים נקבל:

• $\ (a+b)(a+b)(a+b)=aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

שוב השתמשנו בחוק החילוף.

משתי הדוגמאות ראינו כי הביטוי $\ (a+b)^{n}$, לאחר פתיחתו, הוא סכום של איברים, כאשר כל איבר הוא מכפלה של $\ a$ ושל $\ b$, ומספר המופעים של $\ a$ ושל $\ b$ יחד הוא בדיוק $\ n$. בשל חוק החילוף אין חשיבות לסדר שבו מופיעים $\ a,b$ בכל איבר, אלא רק מספר המופעים שלהם. אם באיבר כלשהו מופיע $\ a$ בדיוק $\ k$ פעמים אז איבר זה הוא $\ a^{k}b^{n-k}$.

לכן נוסחת הבינום תיתן סכום של איברים מהצורה $\ a^{k}b^{n-k}$ ונותר לראות מה יהיו המקדמים של איברים אלו.

המקדם של $\ a^{k}b^{n-k}$ הוא מספר טבעי שהוא בדיוק מספר האיברים מהצורה $\ a^{k}b^{n-k}$ שמתקבלים כאשר פותחים את הסוגריים.

כזכור, בזמן פתיחת הסוגריים אנחנו בוחרים איבר אחד מתוך שני האיברים האפשריים בכל אחד מ- $\ n$ זוגות הסוגריים. לכן, עבור האיבר $\ a^{k}b^{n-k}$ עלינו לבחור בדיוק $\ k$ סוגריים מתוך ה-$\ n$ שמתוכם נבחר את $\ a$, ומכל יתר הסוגריים נבחר את $\ b$. כפי שלמדנו בפרק על צירופים, מספר האפשרויות לבחור $\ k$ מתוך $\ n$ איברים כאשר אין חשיבות לסדר שבו מתבצעת הבחירה הוא $\ {n \choose k}$.

ראה גם

1. סימן הסכימה