חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

דרך נוחה מאוד לציון סכומים בה משתמשים רבות בלימודי החשבון האינפיניטסימלי היא באמצעות סימן הסכימה, הוא האות היוונית (סיגמא גדולה). משתמשים בו בסדרות אינסופיות, טורים, חישובי אינטגרלים כגבולות של סכומי רימאן ועוד.

הגדרה[עריכה]

סימן הסכימה מוגדר באופן הבא: אם הם מספרים ממשיים והמספרים הם שלמים כך שמתקיים , אזי נכתוב:

לפיכך, הסימן הוא סימן לסכימה בה האות (אינדקס הסכימה) מקבלת ערכים שלמים עוקבים המתחילים ב- ומסתיימים ב- , כלומר: . מובן שאין חובה להשתמש דווקא באות כאינדקס הסכימה. ניתן להשתמש בסימן הסכימה כדי לסכם ערכי פונקציות, סדרות ועוד.

דוגמא 1

דוגמא 2

רשום את הסכום תוך שימוש בסימן הסכימה.

תשובה: ישנן דרכים רבות לכתוב סכום זה בשימוש בסימן הסכימה. אין דרך יחודית כלשהי. שתים מהדרכים הן:

כללים לשימוש בסימן הסכימה[עריכה]

הכללים הבאים הם כללים פשוטים שעוזרים לנו לעבוד עם סימן הסכימה ביתר פשטות:

כלל 1:

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: ולפי חוק הפילוג, זה מוכיח את הכלל.

כלל 2:

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: ולפי חוק הקיבוץ וחוק החילוף, זה מוכיח את הכלל.

זהויות ידועות[עריכה]

הזהויות הבאות הן שימושיות ביותר תוך עבודה עם סימן הסכימה. יהי קבוע ויהי מספר שלם חיובי, אזי מתקיימות הזהויות הבאות:

זהות 1: .

זהות 2:

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחא לסכום סדרה חשבונית, כאשר הפרש האברים בסדרה הוא 1.

זהות 3 (סכום ריבועים):

זהות 4:

זהות 5:

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחה לסכום סדרה הנדסית, כאשר מנת אבריה היא .


זהויות אלו מובאות כאן עבור המקרה מטעמי נוחיות, אך מובן כי ניתן להכלילן עבור כל כלשהו. את כולן ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה מתמטית על .

דוגמא

חשב את (הבע באמצעות )

תשובה: נשתמש בכללים שהגדרנו קודם לכן ובזהויות הנ"ל ונקבל:

קישורים חיצוניים[עריכה]