חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרה[עריכה]

סכימה (Summation) מיוצגת על ידי סימן הסכימה, האות היוונית סיגמא, והיא מוגדרת כך:

יהי סדרה של מספרים כאשר כך שמתקיים , אזי נכתוב כי סכום האיברים הוא: .

  • נקרא אינדקס הסכימה.

לחלופין, ניתן לקרוא את הצורה כסכום של הסדרה כאשר אנו רצים על אינדקס הסכימה () מהאות ועד האות .

דוגמה 1[עריכה]

דוגמה 2[עריכה]

רשום את הסכום תוך שימוש בסימן הסכימה.

תשובה: ישנן דרכים רבות לכתוב סכום זה בשימוש בסימן הסכימה. אין דרך יחודית כלשהי. שתים מהדרכים הן:

דוגמא 3[עריכה]

חשב את (הבע באמצעות )

תשובה: נשתמש בכללים שהגדרנו קודם לכן ובזהויות הנ"ל ונקבל:

כללים לשימוש בסימן הסכימה[עריכה]

כלל 1:

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: ולפי חוק הפילוג, זה מוכיח את הכלל.

כלל 2:

הוכחה: נפתח את שני אגפי הביטוי: ולפי חוק הקיבוץ וחוק החילוף, זה מוכיח את הכלל.

זהויות ידועות[עריכה]

הזהויות הבאות הן שימושיות ביותר תוך עבודה עם סימן הסכימה. יהי קבוע ויהי מספר שלם חיובי, אזי מתקיימות הזהויות הבאות:

זהות 1: . (הוכחה)

זהות 2: (הוכחה - טור המספרים הטבעיים)

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחא לסכום סדרה חשבונית, כאשר הפרש האברים בסדרה הוא 1.

זהות 3 (סכום ריבועים): (הוכחה - סכום ריבועים)

זהות 4: (הוכחה)

זהות 5: (הוכחה)

זהות 6 (סכום מספרים אי-זוגיים): (הוכחה - סכום מספרים אי זוגיים)

ניתן להוכיח זהות זו באמצעות שימוש בנוסחה לסכום סדרה הנדסית, כאשר מנת אבריה היא .


זהויות אלו מובאות כאן עבור המקרה מטעמי נוחיות, אך מובן כי ניתן להכלילן עבור כל כלשהו. את כולן ניתן להוכיח באמצעות אינדוקציה מתמטית על .

קישורים חיצוניים[עריכה]