מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/קטעים

במהלך פרק הגדרת הפונקציה נעזר במספר מושגי יסוד אותם נגדיר בפרק זה.

קבוצה היא אוסף של מספרים. הדרך המקובלת לרשום קבוצה היא בתוך סוגריים מסולסלים שבתוכם רשומים אברי הקבוצה. למשל, $\ \left\{13,4\right\}$ היא קבוצה המכילה את המספרים 13 ו-4.

תחום הוא אוסף של מספרים הנמצאים על ציר המספרים.לרוב משתמשים בכלל כלשהו כדי לקבל ייצוג נוח יותר של אברי הקבוצה. למשל, קבוצת כל המספרים החיוביים ניתנת לכתיבה בתור $\ \left\{x|x>0\right\}$. משמאל לקו האנכי כתובים את אברי הקבוצה ומימין לו כתובים את התנאים שאותם איברים מקיימים.

• נייצג את תחום המספרים בין שתיים לארבע: $\left\{x|2\leq x\leq 4\right\}$
• נייצג את תחום המספרים הגדולים משבע: $\left\{x|x\geq 7\right\}$

קטעים

בספר זה נתעניין במיוחד באוסף מיוחד של קבוצות: קטעים וקרנים.

• 
  קטע – קו המוגבל משני צידיו (a,b מוגדרים)
• 
  קרן – קו שיש לו התחלה, אך, אין לו סוף. כלומר, אחת מקצותיה תהיה הנקודה אינסוף ($\infty$)

קטע הוא קבוצה של מספרים כך שעבור כל שני מספרים השייכים לקטע, גם כל המספרים שביניהם שייכים לקטע. למשל, הקבוצה $\ \left\{x|1\leq x\leq 2\right\}$ היא קטע שמכיל את כל המספרים בין 1 ל-2 (כולל).

בשל השימוש הרב שנעשה בקטעים, ניתן להם סימון פשוט ונוח. אם $\ a,b$ הם מספרים ממשיים כך שמתקיים $\ a<b$, אז קיימים הקטעים הבאים:

• הקטע $\ \left\{x|a\leq x\leq b\right\}$ נקרא קטע סגור ומסומן $\ \left[a,b\right]$.
• הקטע $\ \left\{x|a<x<b\right\}$ נקרא קטע פתוח ומסומן $\ \left(a,b\right)$.
• הקטע $\ \left\{x|a\leq x<b\right\}$ נקרא קטע חצי פתוח (או קטע חצי סגור) ומסומן $\ \left[a,b\right)$.
• גם הקטע $\ \left\{x|a<x\leq b\right\}$ נקרא קטע חצי פתוח (או קטע חצי סגור) ומסומן $\ \left(a,b\right]$.

עד כה עסקנו בקטעים שבהם המספרים שייכים לתחום שמוגבל מימין ומשמאל על ידי מספרים אחרים. אם מסירים את ההגבלה הזו מקבלים קטעים אינסופיים, שמסומנים באופן הבא:

• הקטע $\ \left\{x|x\leq b\right\}$ מסומן $\ \left(\infty ,b\right]$.
• הקטע $\ \left\{x|x<b\right\}$ מסומן $\ \left(\infty ,b\right)$.
• הקטע $\ \left\{x|a\leq x\right\}$ מסומן $\ \left[a,\infty \right)$.
• הקטע $\ \left\{x|a<x\right\}$ מסומן $\ \left(a,\infty \right)$.
• את אוסף כל המספרים הממשיים מסמנים $\ \left(\infty ,\infty \right)$. סימון מקובל אחר וקומפקטי יותר הוא האות $\ \mathbb {R}$ (מהמילה Real - ממשי).

סוגי סוגרים

1. () - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
2. [] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : $\geq$ או $\leq$)
3. [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.