מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות/בסיס משתנה

בדומה למשוואה מעריכית עם בסיס קבוע, נשאף להגיע למצב בו הבסיסים זהים אחד לשני. בנוסף נבצע מספר שלבים נוספים:

תחום הגדרה - נבדוק מה הם הערכים בהם הבסיס חיובי
מעריך החזקה שווה ל-0 - כיון שלכל $a \neq 0$ מתקיים $a^{0} = 1$ , יש לבדוק מקרה יחודי זה. לאחר מציאת הערך בו החזקה שווה ל-0, נציב בבסיסים ונבדוק אם גם הם שונים מ-0. אין חשיבות לתוצאה המתקבלת בבסיסים אך כן חשוב שהתוצאה תהיה שונה מ-0 (מפני שאין הגדרה לערך $0^{0}$ )
בסיס החזקה $a = 1$ - כיון ש- $1^{a} = 1$ לכל $a$ , יהיה צורך לבדוק מה קורה אם שני הבסיסים שווים ל-1 (במקרה כזה לא משנה מה יהיה המעריך, המשוואה תמיד תתקיים). דוגמא לכך תינתן בהמשך.

דוגמאות

דוגמה 1: בסיס משתנה $(x - 6)^{3} = (x - 6)^{x^{2} - 5 x - 11}$

תחום ההגדרה:

\begin{matrix} x - 6 > 0 \\ x > 6 \end{matrix}

המעריך שווה 0

x^{2} - 5 x - 11 = 0

נעזר בנוסחת השורשים: $\frac{5 \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 (- 11)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{69}}{2}$

נציב בבסיס את הפתרון: $\pm \frac{5 + \sqrt{69}}{2} - 6$ . בשני המקרים הבסיסים שונים מ-0 ולכן יש לכלול פתרונות אלו.

אם כן התוצאות הנן $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{69}}{2}, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

מקרה א': הבסיסים שווים 1

\begin{matrix} x - 6 = 1 \\ x = 7 \end{matrix}

נבצע בדיקה על-ידי הצבה בכדי לאשרר פתרון זה ונציב את ערך $x$ במשוואה $(7 - 6)^{3} = (7 - 6)^{7^{2} - 5 \cdot 7 - 11}$ .

נקבל $(7 - 6)^{3} = (7 - 6)^{49 - 35 - 11}$ ולבסוף $(7 - 6)^{3} = (7 - 6)^{3}$

כלומר פתרון נוסף הנו $x_{1} = \frac{5 + \sqrt{69}}{2}, x_{2} = \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

מקרה ב': פתירת התרגיל

כיון שהבסיסים שווים תמיד, אזי אם מעריכי החזקות יהיו שווים ולכן נשווה את המעריכים ונקבל:

$\begin{matrix} 3 = x^{2} - 5 x - 11 \\ x^{2} - 5 x - 14 = 0 \\ x_{1, 2} = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{(- 5)^{2} - 4 (- 14)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2} = \frac{5 \pm 9}{2} \\ x_{1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \\ x_{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{- 4}{2} = - 2 \end{matrix}$

מאחר ש- $x > 6$ הפתרון $x_{2} = - 2$ נשלל.

פתרונות המשוואה

x_{1} = 7, x_{2} = \frac{5 + \sqrt{69}}{2}, x_{3} = \frac{5 - \sqrt{69}}{2}

דוגמה 2: בסיס משתנה עבור $(x^{2} - x - 11)^{x + 5} = 1$

תחום ההגדרה:

\begin{matrix} x^{2} - x - 11 > 0 \\ x_{1, 2} = \frac{1 \pm 3 \sqrt{5}}{2} \\ x < \frac{1 - 3 \sqrt{5}}{2}, x > \frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2} \end{matrix}

מקרה א': מעריך החזקה שווה 0 והבסיס שונה ממנו.

\begin{matrix} x + 5 = 0 \\ x = - 5 \end{matrix}

נציב $x = - 5$ בבסיס ונקבל $(- 5)^{2} - (- 5) - 11 = 19$ . מאחר והבסיס המתקבל שונה מ-0 נכלול אותו בפתרונות (ובכלל הביטוי $x = - 5$ מחוץ לתחום ההגדרה).

מקרה ב': בסיס החזקה שווה 1

$\begin{matrix} x^{2} - x - 11 = 1 \\ x^{2} - x - 12 = 0 \\ x_{1, 2} = \frac{1 \pm \sqrt{(- 1)^{2} - 4 (- 12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2} \\ x_{1} = \frac{1 + 7}{2} = 4, x_{2} = \frac{1 - 7}{2} = - 3 \end{matrix}$

שתי פתרונות אלו נמצאים בתחום הגדרה ולכן הם תקפים.

פתרונות המשוואה

x_{1} = - 5, x_{2} = 4, x_{3} = - 3