מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
בדומה למשוואה מעריכית עם בסיס קבוע , נשאף להגיע למצב בו הבסיסים זהים אחד לשני. בנוסף נבצע מספר שלבים נוספים:
תחום הגדרה - נבדוק מה הם הערכים בהם הבסיס חיובי
מעריך החזקה שווה ל-0 - כיון שלכל
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
בסיס החזקה
a
=
1
{\displaystyle a=1}
1
a
=
1
{\displaystyle 1^{a}=1}
a
{\displaystyle a}
דוגמה 1: בסיס משתנה
(
x
−
6
)
3
=
(
x
−
6
)
x
2
−
5
x
−
11
{\displaystyle (x-6)^{3}=(x-6)^{x^{2}-5x-11}}
תחום ההגדרה:
x
−
6
>
0
x
>
6
{\displaystyle {\begin{matrix}x-6>0\\x>6\end{matrix}}}
המעריך שווה 0
x
2
−
5
x
−
11
=
0
{\displaystyle x^{2}-5x-11=0}
נעזר בנוסחת השורשים:
5
±
(
−
5
)
2
−
4
(
−
11
)
2
⋅
1
=
5
±
69
2
{\displaystyle {\frac {5\pm {\sqrt {(-5)^{2}-4(-11)}}}{2\cdot 1}}={\frac {5\pm {\sqrt {69}}}{2}}}
נציב בבסיס את הפתרון:
±
5
+
69
2
−
6
{\displaystyle \pm {\frac {5+{\sqrt {69}}}{2}}-6}
אם כן התוצאות הנן
x
1
=
5
+
69
2
,
x
2
=
5
−
69
2
{\displaystyle x_{1}={\frac {5+{\sqrt {69}}}{2}}\quad ,\quad x_{2}={\frac {5-{\sqrt {69}}}{2}}}
מקרה א': הבסיסים שווים 1
x
−
6
=
1
x
=
7
{\displaystyle {\begin{matrix}x-6=1\\x=7\end{matrix}}}
נבצע בדיקה על-ידי הצבה בכדי לאשרר פתרון זה ונציב את ערך
x
{\displaystyle x}
(
7
−
6
)
3
=
(
7
−
6
)
7
2
−
5
⋅
7
−
11
{\displaystyle (7-6)^{3}=(7-6)^{7^{2}-5\cdot 7-11}}
נקבל
(
7
−
6
)
3
=
(
7
−
6
)
49
−
35
−
11
{\displaystyle (7-6)^{3}=(7-6)^{49-35-11}}
(
7
−
6
)
3
=
(
7
−
6
)
3
{\displaystyle (7-6)^{3}=(7-6)^{3}}
כלומר פתרון נוסף הנו
x
1
=
5
+
69
2
,
x
2
=
5
−
69
2
{\displaystyle x_{1}={\frac {5+{\sqrt {69}}}{2}}\quad ,\quad x_{2}={\frac {5-{\sqrt {69}}}{2}}}
מקרה ב': פתירת התרגיל כיון שהבסיסים שווים תמיד, אזי אם מעריכי החזקות יהיו שווים ולכן נשווה את המעריכים ונקבל:
3
=
x
2
−
5
x
−
11
x
2
−
5
x
−
14
=
0
x
1
,
2
=
−
(
−
5
)
±
(
−
5
)
2
−
4
(
−
14
)
2
⋅
1
=
5
±
25
+
56
2
=
5
±
9
2
x
1
=
5
+
9
2
=
14
2
=
7
x
2
=
5
−
9
2
=
−
4
2
=
−
2
{\displaystyle {\begin{matrix}3=x^{2}-5x-11\\x^{2}-5x-14=0\\x_{1,2}={\dfrac {-(-5)\pm {\sqrt {(-5)^{2}-4(-14)}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {5\pm {\sqrt {25+56}}}{2}}={\dfrac {5\pm 9}{2}}\\x_{1}={\dfrac {5+9}{2}}={\dfrac {14}{2}}=7\\x_{2}={\dfrac {5-9}{2}}={\dfrac {-4}{2}}=-2\\\end{matrix}}}
מאחר ש-
x
>
6
{\displaystyle x>6}
x
2
=
−
2
{\displaystyle x_{2}=-2}
פתרונות המשוואה
x
1
=
7
,
x
2
=
5
+
69
2
,
x
3
=
5
−
69
2
{\displaystyle x_{1}=7\quad ,\quad x_{2}={\frac {5+{\sqrt {69}}}{2}}\quad ,\quad x_{3}={\frac {5-{\sqrt {69}}}{2}}}
דוגמה 2: בסיס משתנה עבור
(
x
2
−
x
−
11
)
x
+
5
=
1
{\displaystyle (x^{2}-x-11)^{x+5}=1}
תחום ההגדרה:
x
2
−
x
−
11
>
0
x
1
,
2
=
1
±
3
5
2
x
<
1
−
3
5
2
,
x
>
1
+
3
5
2
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}-x-11>0\\x_{1,2}={\dfrac {1\pm 3{\sqrt {5}}}{2}}\\x<{\dfrac {1-3{\sqrt {5}}}{2}}\quad ,\quad x>{\dfrac {1+3{\sqrt {5}}}{2}}\end{matrix}}}
מקרה א': מעריך החזקה שווה 0 והבסיס שונה ממנו.
x
+
5
=
0
x
=
−
5
{\displaystyle {\begin{matrix}x+5=0\\x=-5\end{matrix}}}
נציב
x
=
−
5
{\displaystyle x=-5}
(
−
5
)
2
−
(
−
5
)
−
11
=
19
{\displaystyle (-5)^{2}-(-5)-11=19}
x
=
−
5
{\displaystyle x=-5}
מקרה ב': בסיס החזקה שווה 1
x
2
−
x
−
11
=
1
x
2
−
x
−
12
=
0
x
1
,
2
=
1
±
(
−
1
)
2
−
4
(
−
12
)
2
⋅
1
=
1
±
7
2
x
1
=
1
+
7
2
=
4
,
x
2
=
1
−
7
2
=
−
3
{\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}-x-11=1\\x^{2}-x-12=0\\x_{1,2}={\dfrac {1\pm {\sqrt {(-1)^{2}-4(-12)}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {1\pm 7}{2}}\\x_{1}={\dfrac {1+7}{2}}=4\quad ,\quad x_{2}={\dfrac {1-7}{2}}=-3\\\end{matrix}}}
שתי פתרונות אלו נמצאים בתחום הגדרה ולכן הם תקפים.
פתרונות המשוואה
x
1
=
−
5
,
x
2
=
4
,
x
3
=
−
3
{\displaystyle x_{1}=-5\quad ,\quad x_{2}=4\quad ,\quad x_{3}=-3}
