מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות/בסיס משתנה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בדומה למשוואה מעריכית עם בסיס קבוע, נשאף להגיע למצב בו הבסיסים זהים אחד לשני. בנוסף נבצע מספר שלבים נוספים:

  • תחום הגדרה - נבדוק מה הם הערכים בהם הבסיס חיובי
  • מעריך החזקה שווה ל-0 - כיון שלכל מתקיים , יש לבדוק מקרה יחודי זה. לאחר מציאת הערך בו החזקה שווה ל-0, נציב בבסיסים ונבדוק אם גם הם שונים מ-0. אין חשיבות לתוצאה המתקבלת בבסיסים אך כן חשוב שהתוצאה תהיה שונה מ-0 (מפני שאין הגדרה לערך )
  • בסיס החזקה - כיון ש- לכל , יהיה צורך לבדוק מה קורה אם שני הבסיסים שווים ל-1 (במקרה כזה לא משנה מה יהיה המעריך, המשוואה תמיד תתקיים). דוגמא לכך תינתן בהמשך.

דוגמאות[עריכה]

דוגמה 1: בסיס משתנה

תחום ההגדרה:
המעריך שווה 0

נעזר בנוסחת השורשים:

נציב בבסיס את הפתרון: . בשני המקרים הבסיסים שונים מ-0 ולכן יש לכלול פתרונות אלו.

אם כן התוצאות הנן

מקרה א': הבסיסים שווים 1

נבצע בדיקה על-ידי הצבה בכדי לאשרר פתרון זה ונציב את ערך במשוואה .

נקבל ולבסוף

כלומר פתרון נוסף הנו

מקרה ב': פתירת התרגיל

כיון שהבסיסים שווים תמיד, אזי אם מעריכי החזקות יהיו שווים ולכן נשווה את המעריכים ונקבל:

מאחר ש- הפתרון נשלל.

פתרונות המשוואה



דוגמה 2: בסיס משתנה עבור

תחום ההגדרה:
מקרה א': מעריך החזקה שווה 0 והבסיס שונה ממנו.

נציב בבסיס ונקבל . מאחר והבסיס המתקבל שונה מ-0 נכלול אותו בפתרונות (ובכלל הביטוי מחוץ לתחום ההגדרה).

מקרה ב': בסיס החזקה שווה 1

שתי פתרונות אלו נמצאים בתחום הגדרה ולכן הם תקפים.

פתרונות המשוואה