מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/בעיות גידול ודעיכה/הגדרות הבעיות/תרגילים

1

בבריכה יש 20 דגים. בכל חודש הדגים מתרבים כך שבסוף החודש יש פי 3 דגים מבתחילתו.

א. מצא את מספר הדגים לאחר 18 חודשים, אם ידוע שבסוף החודש התשיעי נמכרו מחצית מהדגים.

פתרון

לאחר 9 חודשים כמות הדגים היתה $f(9)=20\cdot 3^{9}$. מחצית מכמות זו היא $10\cdot 3^{9}$, לכן לאחר עוד תשעה חודשים כמות הדגים היא $f(18)=10\cdot 3^{9}\cdot 3^{9}=10\cdot 3^{18}=3874204890$

ב. בבריכה אחרת היו 70 דגים, וכמות הדגים הכפילה את עצמה כל חודש פי 2. מצא לאחר כמה זמן כמויות הדגים היו שוות בשתי הבריכות.

פתרון

הפונקציות הן $f(t)=\left\{{\begin{matrix}20\cdot 3^{t},&{\mbox{if}}\ 0\leq t\leq 9\\10\cdot 3^{t},&{\mbox{if}}\ t>9\end{matrix}}\right.$ ו- $g(t)=70\cdot 2^{t}$.

נבדוק אם יש פתרון בתחום $0\leq t\leq 9$: $20\cdot 3^{t}=70\cdot 2^{t}\Rightarrow 2\cdot 3^{t}=7\cdot 2^{t}\Rightarrow \left({\frac {3}{2}}\right)^{t}={\frac {7}{2}}$ ולכן $t=\log _{1.5}3.5={\frac {\ln 3.5}{\ln 1.5}}\approx 3.09$.

בתחום $t>9$ נקבל: $10\cdot 3^{t}=70\cdot 2^{t}\Rightarrow 3^{t}=7\cdot 2^{t}\Rightarrow \left({\frac {3}{2}}\right)^{t}=7$ ולכן $t=\log _{1.5}7={\frac {\ln 7}{\ln 1.5}}\approx 4.8$, אבל $t>9$ ולכן הפתרון היחיד הוא $t=3.09$.

2

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

3

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.