מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/בעיות גידול ודעיכה/הגדרות הבעיות

בעיות גידול ודעיכה, הן בעיות מילוליות, שבהן חומר גדל או קטן בצורה מעריכית, כלומר לאחר שנה (כדוגמה, אפשר גם חודש או יום) החומר יהיה פי a מהחומר ההתחלתי, ולאחר שנתיים החומר יהיה פי $a^{2}$ מהחומר ההתחלתי וכו'. הפונקציה הכללית המתארת גידול או דעיכה מעריכיים היא $f(t)=k\cdot a^{t}$.

• $t$ הזמן שעבר מההתחלה
• $a>0$ המנה, כלומר $a={\frac {f(t+1)}{f(t)}}$ לכל $t$
• $k>0$ הכמות ההתחלתית

אם $a>1$ הכמות תגדל מעריכית ואם $0<a<1$ הכמות תדעך מעריכית.

לדוגמה, אם בבריכה יש טון דגים ובכל חודש כמות הדגים מכפילה את עצמה, נקבל $f(t)=1000kg\cdot 2^{t}$. לא נסמן בדרך כלל את יחידת המידה, אלא נכתוב פשוט $f(t)=1\cdot 2^{t}$ ונקבל את כמות הדגים בטונות, או $f(t)=1000\cdot 2^{t}$ ונקבל את כמות הדגים בקילוגרמים.

מנוסחה זו נקבל דרך למצוא פרמטר אחד של הנוסחה על פי האחרים:

• $k={\frac {f(t)}{a^{t}}}$
• $a=\left({\frac {f(t)}{k}}\right)^{\frac {1}{t}}$ ואם $t$ מספר טבעי נקבל $a={\sqrt[{t}]{\frac {f(t)}{k}}}$
• $t=\log _{a}\left({\frac {f(t)}{k}}\right)={\frac {\ln f(t)-\ln k}{\ln a}}$

תרגילים