מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/בעיות מילוליות/בעיות מספרים

בעיות מספרים הן בעיות שבהם נתון קשר מסוים בין ספרת היחידות לבין ספרת העשרות של מספר מסוים או בין שני מספרים שונים.

קשר בין ספרות של מספר

הנוסחא הבסיסית

אם נסמן:

x=ספרת העשרות

y=ספרת היחידות

אז נסמן את המספר כך: $\ 10\cdot x+y$

כלומר, ספרת העשרות 10 X + ספרת היחידות = המספר

דוגמא לבעיה

א. במספר דו ספרתי ספרת העשרות גדולה ב-2 מספרת היחידות. אם נחבר את המספר עם מספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך נקבל 88. מהו המספר?

הפתרון:

נסמן את ספרת היחידות כ-$\ X$ ואת ספרת העשרות, הגדולה מספרת היחידות ב-2, נסמן כ- $\ X+2$. אם כן את המספר נסמן, על פי הנוסחא הבסיסית, כ- $\ 10\cdot (X+2)+X$

במספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך ספרת היחידות היא $\ X+2$, ספרת העשרות היא $\ X$ והמספר הוא $\ 10\cdot X+(X+2)$

נציג את הדברים באמצעות טבלה:

	ספרת היחידות	ספרת העשרות	נוסחת המספר
המספר המתבקש בשאלה	$\ X$	$\ X+2$	$\ 10\cdot (X+2)+X$
המספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך	$\ X+2$	$\ X$	$\ 10\cdot X+(X+2)$

מכיוון שסכום המספרים הוא 88, המשוואה היא: נוסחת המספר המבוקש + נוסחת המספר בעל אותן ספרות בסדר הפוך = 88

ובשפה מתמטית: $\ 10\cdot (X+2)+X+10\cdot X+(X+2)=88$

נפתח סוגריים: $10\cdot X+10\cdot 2+X+10\cdot X+X+2=88$

נכנס איברים דומים: $\ 22X+22=88$

נעביר אגפים: $\ 22X=88-22$

נבודד את הנעלם: $\ {22X \over 22}={66 \over 22}$

התוצאה שהתקבלה: $\ X=3$

מכיוון שספרת היחידות היא 3, ספרת העשרות היא 5, והמספר הוא 53.

בדיקה:

$\ 53+35=88$

בעיות קשר בין מספרים שונים

קשר חיבורי

בעיה:הסכום של שני מספרים הוא 94.המספר השני גדול ב-4 מהראשון.
פתרון:נסמן את המספר הראשון ב-$\ X$ ואת המספר השני כ-$\ X+4$.
את סכומם נסמן כ-$\ X+X+4$.
המשוואה היא: סכום=94,כלומר: $\ X+X+4=94$
נעביר אגפים:$\ X+X=94-4$
נכנס איברים:$\ 2X=90$
נחלק את המשוואה ב-2:$\ X=45$
כלומר המספר הראשון הוא 45,והמספר השני הוא 49=45+4 בדיקה:$\ 45+49=94$

קשר כפלי

בעיה:המכפלה של שני מספרים היא 28.ההפרש ביניהם הוא 3.
פתרון:נסמן את המספר הראשון ב-$\ X$ ואת המספר השני כ-$\ X+3$.
את מכפלתם נסמן כ-$\ X(X+3)$.
המכפלה היא 28 ולכן:$\ X(X+3)=28$
$\ X^{2}+3X=28$
$\ X^{2}+3X-28=0$
על פי הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית( $\ x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$): $\ X_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {3^{2}-4\cdot 1\cdot (-28)}}}{2}}$
$\ X_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {9+112}}}{2}}$
$\ X_{1,2}={\frac {-3\pm {\sqrt {121}}}{2}}$
$\ X_{1,2}={\frac {-3\pm 11}{2}}$
$\ X_{1}={\frac {-3+11}{2}}={\frac {8}{2}}=4$
אפשרות 1 לפיתרון:המספר הראשון הוא 4 והמספר השני הוא 7=3+4
בדיקה:$\ 4\cdot 7=28$
$\ X_{2}={\frac {-3-11}{2}}={\frac {-14}{2}}=-7$
אפשרות 1 לפיתרון:המספר הראשון הוא $\ (-7)$ והמספר השני הוא $\ (-7)+3=(-4)$
בדיקה:$\ (-7)\cdot (-4)=28$

הפרק הקודם: בעיות כלליות

בעיות מספרים תרגילים

הפרק הבא: בעיות הספק