מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/בעיות מילוליות/בעיות כלליות

בעיות מילוליות כלליות

בבעיות מילוליות כלליות אנו נתקלים בחיי היום-יום במצבים שונים ומגוונים, ולא רק לבגרות. הטכניקה הנדרשת עבור פתרון בעיות מילוליות היא "תרגום" הבעיה המילולית לשפה מתמטית.

שלבים לפתרון

מכינים טבלה שעמוד אחד שלה מיצג את הנעלמים וטור שני את המספרים.
הרכבת משוואה.
פתרון באמצעות טכניקות מתמטיות.
בדיקה
תשובה מילולית.

מכיוון שטכניקות הן עניין של הרגל, נעדיף להשתמש באותם סימונים ככל האפשר, ולכן נעדיף להשתמש בנעלמים $\;x$ ו- $\;y$ ברוב המקרים, אם-כי לבחירה זו אין כל משמעות.

דוגמה א: סכום שני מספרים הוא 19. מספר אחד גדול בשלוש מהמספר השני. מצא את המספרים.

נרכז את כל הנתונים בטבלה.

	נעלמים	מספרים
מספר א	$x$
מספר ב	$x+3$
סה"כ	$x+x+3$	$19$

כפי שניתן לראות, ישנה שורה אחת המכילה את כל הנתונים והיא השורה הנקראת "סכום". ניתן אם כן להשוואת בין חלקו הימיני של הטבלה לחלקו השני.

${\begin{aligned}x+x+3=19/-3\\2x=16/:2\\x=8\\\end{aligned}}$

באמצעות הנעלם $x$ נוכל למצוא את יתר הנתונים בטבלה

	נעלמים	מספרים
מספר א	$x$	$8$
מספר ב	$x+3$	$8+3=11$
סה"כ	$x+x+3$	$19$

בדיקה: $8+11=19$ בוצע

תשובה מילולית: המספרים הם 8 ו-11.

דוגמה:משוואה ריבועית

תרגיל: מכפלת שני מספרים הוא 45. מספר אחד קטן ב-4 מהמספר השני. מצא את שני המספרים

נמלא את הפרטים הידועים בטבלה

	נעלמים	מספרים
מספר א	$x$
מספר ב	$x-4$
סה"כ	$x(x-4)$	$45$

שוב, השורה היחידה הניתנת להשוואה היא השורה האחרונה, סה"כ, נשווה את שני צדי הטבלה:

${\begin{aligned}x(x-4)=45\\x^{2}-4x=45/-45\\x^{2}-4x-45=0\end{aligned}}$

נעזר בנוסחת השורשים

${\begin{aligned}a=1b=-4c=45\\{\frac {4\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4*1*-45}}}{2*1}}\\{\frac {4\pm {\sqrt {196}}}{2}}\\{\frac {4\pm 14}{2}}\\x_{1}={\frac {4+14}{2}}=9\\x_{2}={\frac {4-14}{2}}=-5\\\end{aligned}}$

כפי שניתן לראות ישנן שתי תוצאות לתרגיל עבור הנעלם $x$ . נמלא באמצעותו את הנתונים בטבלה

	נעלמים	מספרים
מספר א	$x$	$9$ או $-5$
מספר ב	$x-4$	$9-4=5$ או $-9$
סה"כ	$x(x-4)$	$45$

תשובה מילולית: המספרים יכולים להיות $9$ ו- $5$ או - $9$ ו- $-5$

דוגמה: שני נעלמים

תרגיל: סכום שני מספרים הוא 5 וההפרש בניהם הוא 1. מצא את שני המספרים.

נמלא את הפרטים הידועים בטבלה

	נעלמים	מספרים
מספר א	$x$
מספר ב	$y$
בכום	$x+y$	$5$
הפרש	$x-y$	$1$

כידוע ישנן שתי דרכים לפתור משוואה עם שני נעלמים. הראשונה לבטא את אחד הנעלמים באמצעות הנעלם השני ולהציב במשוואה השניה. הדרך השניה היא להחסיר את שתי המשוואות זו מזו. אנו נפתור את התרגיל באמצעות הדרך השניה.

${\begin{cases}x+y-5\\x-y=1\\x+y+x-y=6\\2x+6/:2\\x=3\end{cases}}$

נמצא את הנעלם השני באמצעות הצבעת ה- $x$ באחת המשוואות: ${\begin{aligned}x+y=5\\3+y=5/-3\\y=2\\\end{aligned}}$

המספרים הם 3 ו-2.

תרגיל 1:
ליששכר האופה היו שלושים כיכרות לחם ביום ראשון. לאחר חמישה ימים, גדל מספר הככרות שלו ל-150. בהנחה שקצב אפיית הלחמים של יששכר נשאר קבוע לאורך כל הזמן, כמה כיכרות אופה יששכר בכל יום?

שאלה זו הינה עדיין שאלה בסיסית ביותר, ואין היא טומנת בחובה כל קושי נסתר. הבה נתרגם את הנתונים של השאלה לשפה אלגברית. את התרגום אנו מתחילים בנתינת שמות לנעלמים ובנית רשימה מתומצתת של הנתונים:

$\;x$ מסמן את מספר הכיכרות שיששכר מיצר בכל יום.
30 מספר הככרות של יששכר ביום א'
150 מספר הככרות של יששכר לאחר 5 ימים.

כעת ניגש למלאכת הפתרון. אם $\;x$ הוא מספר הכיכרות ליום, הרי שהכפלתו במספר הימים יתן את מספר הכיכרות שיוצרו סה"כ ואם נוסיף לו 30 (מספר הככרות שהיו ליששכר מראש) נקבל את האמת המתמטית הבאה:

$30+x\cdot 5=150$

ומכאן הפתרון הוא ברור על פי שימוש בכללי פתרון המשוואות והוא

$x=24\;$

ולכן הפתרון הוא: 24.

תרגיל 2:
סוחרת קנתה מוצרים במחיר כולל של 800 ש"ח. 8 מהמוצרים נפגמו ולכן מכרה כל אחד מהם ב-5

שקלים פחות מהמחיר שבו קנתה אותם. את שאר המוצרים מכרה במחיר שהוא ברבע יותר ממחירם המקורי לכל אחד. בסה"כ הרוויחה הסוחרת בעיסקה כולה 120 שקלים. כמה מוצרים מכרה הסוחרת?

נסמן ב- $\;x$ את מס' המוצרים שקנתה הסוחרת, ולכן מחיר כל מוצר הוא ${\frac {800}{x}}$ .

מה זאת אומרת? אם קניתי 5 עפרונות במחיר כולל של 10 שקלים אז מחיר כל עיפרון הוא ${\frac {10}{5}}=2$ . זאת אומרת שמחיר כל עיפרון הוא 2 שקלים.

את 8 המוצרים הפגומים מכרה הסוחרת ב-5 שקלים פחות מהמחיר ששילמה עבור כל מוצר. לכן מחיר 8 המוצרים הפגומים הוא: $8\left({\frac {800}{x}}-5\right)$ .

אם כך, לסוחרת נשארו $x-8$ מוצרים. והיא מכרה אותם במחיר שהוא ברבע יותר מהמחיר שבו קנתה אותם לכן כל מוצר היא מכרה במחיר שהוא פי אחד ורבע ממחיר הקנייה שלו. מה זאת אומרת? הסוחרת קנתה מוצר אחד במחיר ${\frac {800}{x}}$ ומכרה את $x-8$ המוצרים הפגומים במחיר ${\frac {5}{4}}\cdot {\frac {800}{x}}$ . ולכן מחיר $\;x-8$ המוצרים הפגומים הוא ${\frac {1000}{x}}$ .