מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/סדרות/סדרות הנדסיות

הגדרה

סדרה הנדסית היא סדרה שבה כל אבר הוא מכפלה של האבר הקודם במספר קבוע מסוים, הנקרא "מנת הסדרה". למשל:

• $1,2,4,8,16,\dots$ היא סדרה הנדסית עם מנה 2.
• $3,3,3,3$ היא סדרה הנדסית עם מנה 1.
• $100,50,25,12.5$ היא סדרה הנדסית עם מנה ${\frac {1}{2}}$ .

נהוג לסמן את המנה של סדרה הנדסית על-ידי $q$ . סדרה הנדסית מאופיינת על-ידי $q$ , על-ידי $a_{1}$ - האבר הראשון שלה, ועל-ידי מספר האברים שבה. כלומר, אם יודעים מהו האבר הראשון של סדרה, מהי המנה שלה ומה האורך שלה, ניתן לדעת מה יהיו כל שאר אברי הסדרה.

נוסחת הנסיגה המתאימה לסדרה הנדסית היא $a_{n}=q\cdot a_{n-1}$ - כל אבר הוא מכפלת האבר הקודם ב- $q$ , כאשר האבר הראשון נקבע באופן שרירותי.

האבר הכללי

אם ידועים לנו $a_{1},q$ , ניתן למצוא את האיבר הכללי של הסדרה באמצעות הנוסחא

$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$

כדי להיווכח בנכונות הנוסחה פשוט נשים לב כי כדי לעבור מ- $a_{1}$ אל $a_{n}$ אנחנו מבצעים $n-1$ צעדים כאשר בכל צעד גדל ערך האבר פי $q$ .

סכום סדרה הנדסית סופית

כבר נתקלנו במושג הסכום אצל סדרה חשבונית. עבור סדרה הנדסית שהמנה שלה היא 1 כל האברים זהים, ולכן הסכום הוא פשוט

$S_{n}=na_{1}$

נמצא את נוסחת הסכום הכללית:

${\begin{matrix}S_{n}&=&a_{1}+a_{1}q+\cdots +a_{1}q^{n-1}&=&a_{1}(1+q+\cdots +q^{n-1})\\\\S_{n+1}&=&a_{1}+a_{1}q+\cdots +a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}&=&{\color {blue}a_{1}+a_{1}q(1+q+\cdots +q^{n-1})}&=&{\color {blue}a_{1}+qS_{n}}\end{matrix}}$

נחסר את שני הטורים זה מזה:

${\begin{matrix}S_{n+1}&-&S_{n}=a_{1}q^{n}\\(a_{1}+qS_{n})&-&S_{n}=a_{1}q^{n}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}qS_{n}-S_{n}=a_{1}q^{n}-a_{1}\\S_{n}(q-1)=a_{1}(q^{n}-1)\\\\S_{n}={\dfrac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}\quad ,q\neq 1\end{matrix}}$

סכום סדרה הנדסית אינסופית

כאשר $|q|<1$ , הסכום של סדרה הנדסית אינסופית בעלת מנה $q$ ואבר ראשון $a_{1}$ היא:

$S={\frac {a_{1}}{1-q}}$

בחלק הבא, המיועד להעשרה והעמקה בלבד, ננסה להבין מה פירוש המושג "סכום של סדרה אינסופית", מדוע הסכום הוא זה שבנוסחה, ולמה צריך להתקיים $|q|<1$ . אינכם חייבים לקרוא חלק זה כדי להיות מסוגלים לפתור תרגילים העוסקים בסכומים של סדרה הנדסית אינסופית - לשם כך די להכיר את הנוסחא.

מהו סכום של סדרה אינסופית?

לכאורה נראה כי המושג "סכום של סדרה אינסופית" הוא חסר משמעות. כיצד ניתן לחבר אינסוף אברים? הרי זה תהליך שלא יסתיים לעולם, כי תמיד ניתן להמשיך ולחבר אברים נוספים. גם אם מניחים שקיימת אפשרות לחבר את כל האברים "בבת אחת", עדיין נראה כאילו סכום של אינסוף אברים צריך להיות אינסוף.

הטיפול המתמטי המדויק במושג זה נעשה במסגרת הענף המתמטי הנקרא "חשבון דיפרנציאלי ואינטגראלי", ולכן נציג כאן את הרעיון בלבד, ולא הוכחה מדויקת.

בתור דוגמא נתבונן בסכום הבא:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots$

זהו סכום של הסדרה האינסופית שהאבר הראשון שלה הוא $a_{1}=1$ והמנה שלה היא $q={\frac {1}{2}}$ . על-פי הנוסחא שהצגנו למעלה, הסכום הזה צריך להיות שווה ל-2. פירוש הדבר הוא שככל שנחבר עוד ועוד אברים בסכום, נגלה שאנחנו מתקרבים למספר 2. כדי להיווכח בכך, נשתמש בנוסחת הסכום הסופית שפיתחנו קודם, ונראה מה אנחנו מקבלים אחרי שאנחנו מחברים את האברים הראשונים בסדרה. באופן כללי, אחרי שנחבר $n$ אברים נקבל את הסכום הבא:

$S_{n}={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}-1}{{\frac {1}{2}}-1}}={\frac {\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}-1}{-{\frac {1}{2}}}}=-2\left(\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}-1\right)=2\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)$

אם נציב ערכים בנוסחא באמצעות מחשבון, נראה כי נקבל את התוצאות הבאות:

$S_{1}=1$

$S_{5}=1.9375$

$S_{10}=1.9980$

$S_{15}=1.9999$

וככל שנמשיך נראה שהערכים הולכים ונהיים קרובים יותר ויותר ל- $2$ , עד כי רמת הדיוק של המחשבון שלנו לא תאפשר לנו לראות את ההבדל. במקרה כזה אנו אומרים כי $S$ הוא הגבול של סדרת הסכומים החלקיים $S_{n}$ .

מתי קיים סכום לסדרה אינסופית?

מכיון שלא הבאנו את ההגדרה המדויקת של גבול (שאיננה פשוטה) עשוי להתקבל הרושם כי לכל סדרה קיים גבול. נציג כאן שני סכומים אינסופיים שבבירור לא ניתן לייחס להם ערך מסוים.

דוגמא 1

נתבונן בסדרה הבאה:

$1,-1,1,-1,1,\ldots$

זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_{1}=1,q=-1$ .

כאשר $n$ זוגי סכום $n$ האברים הראשונים בסדרה הוא $S_{n}=0$ , וכאשר $n$ אי-זוגי סכום $n$ האברים הראשונים בסדרה הוא $S_{n}=1$ . ניתן לראות זאת על-ידי הצבה בנוסחה הכללית. האם קיים סכום לסדרה האינסופית? הצבה בנוסחה של סכום של סדרה אינסופית מניבה ${\frac {1}{2}}$ , אולם מספר זה לא מקיים את התכונה שציפינו שיקיים: לא משנה כמה אברים נסכום, לא נראה כאילו אנחנו מתקרבים אליו, אלא כל הזמן מתנדנדים בין 0 ל-1. מאותה סיבה גם לא ניתן להגיד ש-1 הוא הסכום או 0 הוא הסכום. לכן אנו מסיקים שאין לסדרה סכום על-פי המשמעות שאנו מייחסים למילה זו.

דוגמא 2

נתבונן בסדרה הבאה:

$1,2,4,8,16,\ldots$

זו סדרה הנדסית עם $a_{1}=1,q=2$ .

נשים לב שככל שאנו סוכמים יותר ויותר אברים, הסכום הולך וגדל. למעשה, לכל מספר טבעי, ולא משנה כמה גדול יהיה, הסדרה מתישהו תעבור אותו. על-פי נוסחת הסכום הכללית, במקרה של הסדרה הזו $S_{n}={\frac {2^{n}-1}{2-1}}=2^{n}-1$ . נניח ש- $M$ הוא מספר טבעי כלשהו, מתי הסדרה תעבור אותו? אם אתם מכירים לוגאריתמים תוכלו למצוא את הפתרון:

$2^{n}-1>M$ גורר $2^{n}>M+1$ , ובעזרת שימוש בלוגאריתם נקבל $n>\log _{2}(M+1)$ .

מכיון ש- $n$ יכול לקבל כל ערך שהוא מספר טבעי (כי יש אינסוף אברים לסדרה) ברור שמתישהו הוא יעבור את $\log _{2}(M+1)$ , ולכן גם במקרה הזה אין לסכום ערך מוגדר (אם כי ניתן, בהכללה, לומר שבמקרה זה הסכום הוא אינסוף).

ניתן להשתכנע שנסיון לייחס לסכום תכונות של מספר סופי כלשהו מוביל לאבסורד. נניח כי לסדרה קיים סכום סופי שנסמנו $A$ , ונראה שמהנחה זו אנו מגיעים לתוצאה אבסורדית.

אם $1+2+4+\cdots =A$ אז אפשר לכפול פי 2 את שני האגפים. נקבל:

$2+4+8+\cdots =2A$ .

נוסיף 1 לשני האגפים, ונקבל:

$1+2+4+8+\cdots =2A+1$

אבל עכשיו באגף שמאל יש לנו את הסכום המקורי, והרי ערכו של סכום זה שווה ל- $A$ , כלומר קיבלנו:

$A=2A+1$

כעת נעביר אגפים ונקבל את ערכו של $A$ :

$A=-1$

תוצאה זו נראית אבסורדית - קיבלנו כי לכאורה, הסכום של אינסוף מספרים חיוביים הוא מספר שלילי. על כן אנו מסיקים שההנחה שלנו כי קיים מספר סופי שמתאר את סכום הסדרה היא שגויה.

מתי קיים סכום לסדרה הנדסית אינסופית?

לא תמיד קל לומר אם קיים או לא קיים סכום לסדרה אינסופית כללית. עבור סדרה הנדסית התשובה ידועה: קיים סכום אך ורק כאשר $|q|<1$ . לא ניתן להוכיח בצורה מדויקת טענה זו כאן, אך כדי להצדיקה נתבונן בסכום הכללי של $n$ אברים: $S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$ .

האבר היחיד בסכום שהולך ומשתנה ככל שסוכמים יותר אברים הוא $q^{n}$ , ולכן במובן מסוים הסכום תלוי בשינויים שעוברים עליו. כאשר $|q|<1$ , ככל ש- $n$ גדול יותר כך $q^{n}$ קטן יותר (כי בכל פעם מכפילים במספר שקטן מ-1). במקרה שלנו די בכך כדי להבטיח את קיום הסכום. לעומת זאת, אם $|q|>1$ הרי ש- $q^{n}$ רק גדל עם הזמן, ואם $|q|=1$ או שנקבל סדרה "מתנדנדת" (כאשר $q=-1$) או שלא נוכל להשתמש בנוסחה הכללית (כאשר $q=1$) אלא בנוסחא $S_{n}=na_{1}$ שממנה ברור שככל ש- $n$ גדל הסכום עובר כל מספר טבעי.

עבור סדרה חשבונית אינסופית הסכום לא קיים אף פעם, בלי תלות בגודל ההפרש של הסדרה, ולכן לא עסקנו בסכומים אינסופיים במקרה של סדרות חשבוניות.

מדוע הסכום שמתקבל כאשר $|q|<1$ הוא דווקא ${\frac {a_{1}}{1-q}}$ ? כזכור, אחרי חיבור $n$ אברים הסכום הוא $S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$ . ככל ש- $n$ הולך וגדל, $q^{n}$ הולך ומתקרב אל $0$ . לכן כדי לראות את התוצאה הסופית נציב $q^{n}=0$ בנוסחא ונקבל $S={\frac {a_{1}(0-1)}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}$ .

הפרק הקודם: סדרות חשבוניות

סדרות הנדסיות תרגילים

הפרק הבא: סדרות כלליות