משתמש:משתמש:Illuyanka/טיוטה/מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הוכחות/פונקציה מעריכית

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

נגזרת של פונקציה מעריכית[עריכה]

על-פי נגזרת - תורת הגבולות הגדרת הנגזרת: . על-פי הגדרת הנגזרת, נגלה את נוסחת הנגזרת עבור הפונקציה בנקודה

למשל: הנגזרת של הפונקציה , בנקודה היא:

הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה היא:

נקודות פיתול - הוכחה[עריכה]

בכדי למצוא את הנוסחא לנקודת פיתול מבצע פעולה פשוטה יחסית – נגזור את הנגזרת הראשונה על-פי הכלל:

כיון ש: וכך גם: , תמיד, כלומר, אין נקודות פיתול לפונקציה מעריכית!

פונקציות מעריכיות מורכבות - הוכחה[עריכה]

עתה נרצה לגלות את הנוסחא לחישוב נגזרת עבור פונקציות מעריכיות מורכבות; נעזר בדוגמא של .

נפשט את הנוסחא באמצעות טכניקות אלגבריות ונקבל:

נמצא נגזרת:

נבצע גזירה מורכבת :

נסמן:

למשל, כאשר נרצה לגזור את הפונקציה

הנוסחא:

לוגריתמי טבעי (ln)[עריכה]

גם, פה, תהליך מציאת הנגזרת ארוך ומסבוך ולכן, המציאו את המושג (ln(a, שפרושו בעברית לוגריתם טבעי, הנו : .

"הנוסחא של ln" נמצאת במחשבון לחיצה עליה ועל a המבוקש תקצר לנו תהליך החישוב שתואר לעיל. אתם יכולים, כבר עכשיו, לבדוק את הערך של ולגלות שהוא שווה ל-0.693.

כלומר, למציאת השיפוע של הפונקציה , נבצע את הפעולה במחשבון כך: , או ידנית, כך : .

הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה כול שהיא, היא :

כמה נחמד שיש היום מחשבונים...

Gnome-face-smile-big.svg

הייחודיות של פונקציה [עריכה]

מצא את הפונקציה המעריכית עבורה (זווית של 45 מעלות)!

נציב ב- Ca ושווה לאחד:

כלומר, אם , אז הפונקציה היא : , והנגזרת היא :

המספר המדויק עבורו:

ערך, זה, 2.718, היוצר פונקציה לה הנגזרת זהה לפונקציה, הגדירו כ- . את הפונקציה הגדירו כפונקציה .

סיכום נוסחאות[עריכה]