נגזרת של פונקציה מעריכית [ עריכה ] על-פי נגזרת - תורת הגבולות הגדרת הנגזרת:
f
′
=
lim
h
→
0
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
)
h
{\displaystyle f'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}}
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
F
(
x
)
′
=
lim
h
→
0
a
x
+
h
−
a
x
h
=
lim
h
→
0
a
x
(
a
h
−
1
)
h
{\displaystyle {\begin{aligned}F(x)'&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}(a^{h}-1)}{h}}\\\end{aligned}}}
למשל: הנגזרת של הפונקציה
F
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle F(x)=2^{x}}
x
=
3
{\displaystyle x=3}
F
(
3
)
′
=
lim
h
→
0
2
3
(
2
h
−
1
)
h
=
lim
h
→
0
2
3
(
2
0.01
−
1
)
0.01
=
8
∗
0.965
{\displaystyle {\begin{aligned}F(3)'&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{3}(2^{h}-1)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{3}(2^{0.01}-1)}{0.01}}\\&=8*0.965\\\end{aligned}}}
הנגזרת של פונקציה מעריכית בנקודה
X
=
X
0
{\displaystyle X=X_{0}}
C
=
F
(
x
)
′
=
lim
h
→
0
a
x
0
(
a
h
−
1
)
h
{\displaystyle C=F(x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x_{0}}(a^{h}-1)}{h}}}
נקודות פיתול - הוכחה [ עריכה ] בכדי למצוא את הנוסחא לנקודת פיתול מבצע פעולה פשוטה יחסית – נגזור את הנגזרת הראשונה על-פי הכלל:
C
=
F
(
x
)
′
=
lim
h
→
0
a
x
0
(
a
h
−
1
)
h
{\displaystyle C=F(x)'=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x_{0}}(a^{h}-1)}{h}}}
F
a
′
(
x
0
)
=
a
x
0
⋅
c
a
=
g
(
x
0
)
G
(
x
0
)
=
f
″
(
x
0
)
=
C
a
(
a
x
0
⋅
C
a
)
=
f
a
″
(
x
0
)
=
C
a
2
⋅
a
x
0
{\displaystyle {\begin{aligned}F_{a}'(x_{0})&=a^{x_{0}}\cdot c_{a}=g(x_{0})\\&G(x_{0})=f''(x_{0})\\&=Ca(a^{x_{0}}\cdot Ca)\\&=f_{a}''(x_{0})=Ca^{2}\cdot a^{x_{0}}\\\end{aligned}}}
כיון ש:
C
a
2
>
0
{\displaystyle Ca^{2}>0}
a
x
>
0
{\displaystyle a^{x}>0}
f
a
(
x
)
″
>
0
{\displaystyle f_{a}(x)''>0}
פונקציות מעריכיות מורכבות - הוכחה [ עריכה ] עתה נרצה לגלות את הנוסחא לחישוב נגזרת עבור פונקציות מעריכיות מורכבות; נעזר בדוגמא של
y
=
2
3
x
{\displaystyle y=2^{3x}}
נפשט את הנוסחא באמצעות טכניקות אלגבריות ונקבל:
y
=
(
2
3
)
x
=
8
x
{\displaystyle y=(2^{3})^{x}=8^{x}}
נמצא נגזרת:
y
′
=
8
x
⋅
C
8
{\displaystyle y'=8^{x}\cdot C_{8}}
נבצע גזירה מורכבת :
נסמן:
u
=
3
x
{\displaystyle u=3x}
F
(
u
)
=
2
u
f
(
u
)
′
=
2
u
⋅
C
2
u
′
(
x
)
=
3
⇓
3
⋅
2
3
x
⋅
C
2
8
x
⋅
3
C
2
↓
C
2
3
=
8
⇓
3
C
3
=
3
3
=
27
2
C
3
=
3
2
=
9
B
⋅
C
a
=
C
a
b
↓
3
3
x
=
27
x
=
C
2
7
⇓
a
g
(
x
)
′
=
a
g
(
x
)
⋅
g
(
x
)
′
⋅
C
a
{\displaystyle {\begin{aligned}&F(u)=2^{u}\\&f(u)'=2^{u}\cdot C_{2}\\&u'(x)=3\\\Downarrow \\&3\cdot 2^{3x}\cdot C_{2}\\8^{x}\cdot 3C_{2}\\\downarrow \\C_{2^{3}}=8\\\Downarrow \\3C_{3}=3^{3}=27\\2C_{3}=3^{2}=9\\B\cdot C_{a}=C_{a^{b}}\\\downarrow \\3^{3x}=27^{x}=C_{2}7\\\Downarrow \\a^{g(x)'}=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot Ca\\\end{aligned}}}
למשל, כאשר נרצה לגזור את הפונקציה
y
=
27
x
{\displaystyle y=27^{x}}
Y
′
=
27
3
x
⋅
C
2
7
⋅
3
{\displaystyle Y'=27^{3}x\cdot C_{2}7\cdot 3}
הנוסחא:
a
g
(
x
)
′
=
a
g
(
x
)
⋅
g
(
x
)
′
⋅
C
a
{\displaystyle a^{g(x)'}=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot Ca}
לוגריתמי טבעי (ln) [ עריכה ] גם, פה, תהליך מציאת הנגזרת ארוך ומסבוך ולכן, המציאו את המושג (ln(a, שפרושו בעברית לוגריתם טבעי, הנו :
C
a
=
lim
h
→
0
a
h
−
1
h
=
ln
(
a
)
{\displaystyle Ca=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}=\ln(a)}
"הנוסחא של ln" נמצאת במחשבון לחיצה עליה ועל a המבוקש תקצר לנו תהליך החישוב שתואר לעיל. אתם יכולים, כבר עכשיו, לבדוק את הערך של
l
n
(
2
)
{\displaystyle ln(2)}
כלומר, למציאת השיפוע של הפונקציה
y
=
2
x
{\displaystyle y=2^{x}}
C
=
2
x
⋅
ln
(
2
)
{\displaystyle C=2^{x}\cdot \ln(2)}
C
=
a
⋅
C
a
{\displaystyle C=a\cdot Ca}
הנגזרת של פונקציה מעריכית
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
y
a
′
=
a
x
0
⋅
ln
(
a
)
{\displaystyle y_{a}'=a^{x_{0}}\cdot \ln(a)}
כמה נחמד שיש היום מחשבונים...
הייחודיות של פונקציה
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
[ עריכה ]
C
a
a
0.693
2
1.099
3
1.386
4
{\displaystyle {\begin{array}{|c||c|}Ca&a\\\hline 0.693&2\\1.099&3\\1.386&4\\\end{array}}}
מצא את הפונקציה המעריכית
(
a
x
)
{\displaystyle (a^{x})}
C
a
=
1
{\displaystyle Ca=1}
זווית של 45 מעלות )!
נציב ב- Ca ושווה לאחד:
a
0.001
−
1
0.001
=
1
a
0.001
=
1.001
a
0.001
=
1.001
a
=∼
2.718
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a^{0.001}-1}{0.001}}=1\\&a^{0.001}=1.001\\&a^{0.001}={\sqrt {1.001}}\\&a=\sim 2.718\\\end{aligned}}}
כלומר, אם
a
=
2.718
{\displaystyle a=2.718}
y
=
2.718
x
{\displaystyle y=2.718^{x}}
y
′
=
2.718
x
⋅
1
{\displaystyle y'=2.718^{x}\cdot 1}
המספר המדויק עבורו:
a
x
=
a
x
′
{\displaystyle ax=ax'}
ערך, זה, 2.718, היוצר פונקציה לה הנגזרת זהה לפונקציה, הגדירו כ-
e
=
2.718
{\displaystyle e=2.718}
y
=
e
x
{\displaystyle y=e^{x}}
סיכום נוסחאות [ עריכה ]
F
(
x
)
′
=
a
x
0
⋅
C
a
{\displaystyle F(x)'=a^{x_{0}}\cdot Ca}
lim
h
→
0
=
a
h
−
1
h
{\displaystyle \lim _{h\to 0}={\frac {a^{h}-1}{h}}}
F
(
x
)
″
=
C
a
2
⋅
a
x
{\displaystyle F(x)''=Ca^{2}\cdot a^{x}}
F
(
x
)
′
=
a
g
(
x
)
′
=
a
g
(
x
)
⋅
g
(
x
)
′
⋅
C
a
{\displaystyle F(x)'=a^{g(x)'}=a^{g(x)}\cdot g(x)'\cdot Ca}
